角のへや_具体的構成1

((2n+1)(2m+1)+k)/12

ただし、k=3(n,mが奇数),1(n,mが奇数と偶数),-1(n,mが偶数と偶数)

です。このうち、

n,mはともに1,2,3,5以外の自然数である

上限が整数とならない

を満たすとき、上限の小数点以下切り捨て=MX値 であることを、具体的に解を構成することで示しています。

また、このとき常に複数解であることも示しています。

n,m

5,5

3,3

偶数,1

奇数,4

偶数,4

2,0

0,3

3,5

2,5

以下、上限の小数点以下切り捨ての数だけ黒マスを入れる、解の構成を述べます。

n,m 5,5 (mod 6)

図は11x11です。

https://gyazo.com/ad4614181e0f8366c81a7dabe4843b2e

これは最大限黒マスが入っています。斜め反転できるので、唯一解でないことも分かります。

さらに、「右に6マス」追加して、11x17を2種類構成できます。緑は消した黒マスです。

https://gyazo.com/406d6d2c8fa095b46414dfd2b774f902

https://gyazo.com/f989877cfa8b2abf74d2bb439277cf0a

更に、「下に6マス」追加することもできます。

https://gyazo.com/926dc2040ae4277f4b68a894c17b9d0f

よって、n,mがともに「11以上、6で割ったあまりが5」のとき、

上限の数だけ黒マスを入れた状態を具体的に構築できます。

n,m 3,3 (mod 6)

図は9x9です。

https://gyazo.com/00d75fd88dd9c1bca7d940f30f6f9495

5,5と同様の議論で、n,mがともに「9以上、6で割ったあまりが3」のとき、

上限の数だけ黒マスを入れた状態を具体的に構築できます。

n,m 4,1 0,1 2,1 (mod 6)

https://gyazo.com/ac1a0d63fd62f2bb542b73f87eb1a513

これは右に2マス伸ばしても、上限通り入れる配置が存在します。

https://gyazo.com/4b6c14b872f2c91966b78907bbf4248a

「右に2マス」をさらに繰り返せます。

https://gyazo.com/8f25972102c5680faf52c17729701ccc

また、「下に6マス」も可能です。

https://gyazo.com/898e5eac1a26dc2e3b32dc02ce9703d9

「下に6マス」の操作の後に、「右に2マス」をすることも可能です。

よって、たてが7,13,19,...、よこが4,6,8,...のとき、

上に示した「右に2マス」「下に6マス」を繰り返すことで、具体例を構成できます。

また、左端2行を除いた部分は、左右反転可能なので、いずれも複数解です。

n,m 1,4, 3,4, 5,4 (mod 6)

たて7, よこ10です。上で挙げた「たて7,よこ4」から「右に2マス」*3回をしたものです。

https://gyazo.com/dbdde300e1ecbb3ae7cd96502d2ff49c

よこ10のとき、「下に2マス」が可能です。

https://gyazo.com/b422d638dab4a2687f181bfc15560819

さらに「下に2マス」。

https://gyazo.com/ac22bb002fa0661892c019f9fd58ee85

また、「右に6マス」も可能。

https://gyazo.com/2a35e6a314c57fed3370c4eb46a430e3

「右に6マス」の操作の後に、「下に2マス」をすることも可能です。

さらに、よこ4、たて7から、「下に2マス」も可能なので、

たてが7,9,11,...、よこが4,10,16,...のとき、

上に示した「下に2マス」「右に6マス」を繰り返すことで、具体例を構成できます。

また、左端2行を除いた部分は、左右反転可能なので、いずれも複数解です。

n,m 偶数,4 (mod 6)

上の例と同様です。4x4から始めて、

https://gyazo.com/9721bce1e23d0025757bbeaa3a450fee

「右に2マス」が可能です。

https://gyazo.com/feca4ec502b985c423214df59fdb96c3

「右に2マス」を任意の回数行った後、「下に6マス」が可能です。

https://gyazo.com/04fc5fc60b8e3fe4da2d1eb98a6b694d

また、スタートの4x4の配置を変えても、同様に広げられるので、複数解です。

https://gyazo.com/f3f5fb45a4b5dd13cd1cc96a950801d8

n,m 2,0 (mod 6)

8x6は2解以上あります。

https://gyazo.com/93f9372508038b555661fccf11df09a2

https://gyazo.com/de765209bb3534ed6d00b3685b2f3072

「右に6マス」が可能。

https://gyazo.com/2fc9de85cfd335acecf21881558ff11b

m=6は構成完了。

12x8は2解以上あります。

https://gyazo.com/e17dbe2ff8b3baf35ab6523d30a9622f

https://gyazo.com/136b4d0e8be34d8b5d14c5169d071bee

「下に6マス」（白2x2近辺で黒マスを移動させれば別解を構成可能）

https://gyazo.com/bfef347980912548eba40ec4700dafa0

「右に6マス」

https://gyazo.com/49cffe08770e2c1dd6bbb99183615282

n,m 0,3 (mod 6)

6x9は2解以上あり、

https://gyazo.com/24ade1f90e3b2a67caf94cabae52546c

https://gyazo.com/47f0acd6c8c8f97a2d6cbcaf4ba03cd2

拡大可能。

https://gyazo.com/ec5dfc770e92ae1969d9addc19c42eea

https://gyazo.com/0c21e06d91a04f32a49d5424f9c05a03

n,m 3,5 (mod 6)

9x11は拡大可能。

https://gyazo.com/ba00fc4c8c5ebbef3667463cb9292335

https://gyazo.com/2de82b36306483a047d3ae29f9eaef6c

https://gyazo.com/f573fcd15f02472678137fc529c71c76

n,m 2,5 (mod 6)

8x11は2解以上、拡大可能。

https://gyazo.com/40a61f5af80bd7b346fdf61537c66e42

https://gyazo.com/78367204eda569b8aea8ccbbd86b93b2

https://gyazo.com/31eb39990f74782d4f85751c32e13184

https://gyazo.com/f1ee019cf939025809ecf2aed9cad796

以上