色々な平均
調和平均 (HM)$ M_{-1}=M_{\frac 1 x}=L_0=\frac n{\frac 1 {x_1}+\dots+\frac 1 {x_n}}=n\left(\sum_{k=1}^n\frac 1{x_k}\right)^{-1} 幾何平均 (GM) (相乘平均)$ M_0=M_{\log x}=L_{\frac 1 2}=\sqrt[n]{x_1\dots x_n}=\left(\prod_{k=1}^n x_k\right)^{\frac 1 n} 算術平均 (AM) (相加平均)$ M_1=M_x=L_1=\frac{x_1+\dots+x_n}n=\frac 1 n\sum_{k=1}^n x_k m 次中央積率 (moment)$ \mu_m:=\frac 1 n\sum_{i=1}^n(x_i-\mu)^m $ {\rm GM}=\sqrt{{\rm AM}\cdot{\rm HM}}
$ M_p(x_1,\dots,x_n):=\left(\frac 1 n\sum_{i=1}^n {x_i}^p\right)^{\frac 1 p}
一般化 f-平均
$ M_f(x_1,\dots,x_n):=f^{-1}\left(\frac 1 n\sum_{i=1}^n f({x_i})\right)
最小 (min)値$ M_{-\infty}=\min(x_1,\dots,x_n) 幾何平均 (GM)$ M_0=M_{\log x}=\lim_{p\to 0}\left(\frac 1 n\sum_{k=1}^n{x_k}^p\right)^{\frac 1 p}=\exp\left(\frac 1 n\sum_{k=1}^n\log x_k\right) 立方平均$ M_3
最大 (max)値$ M_{+\infty}=\max(x_1,\dots,x_n) $ L_p(x_1,\dots,x_n):=\frac{\sum_{i=1}^n{x_i}^p}{\sum_{i=1}^n{x_i}^{p-1}}
逆調和平均$ L_2
$ S_p(x_1,x_2):=\lim_{(\xi_1,\xi_2)\to(x_1,x_2)}\left(\frac{{\xi_1}^p-{\xi_2}^p}{p\cdot(\xi_1-\xi_2)}\right)^{\frac 1{p-1}}=\begin{cases}x_1 & x_1=x_2 \\ \left(\frac{{x_1}^p-{x_2}^p}{p\cdot(x_1-x_2)}\right)^{\frac 1{p-1}} & x_1\ne x_2\end{cases}
より一般に$ u(\alpha,\beta;\xi_1,\xi_2):=\left(\frac{\beta\cdot({\xi_1}^\alpha-{\xi_2}^\alpha)}{\alpha\cdot({\xi_1}^\beta-{\xi_2}^\beta)}\right)^{\frac 1{\alpha-\beta}}
$ S_p(x_1,x_2)=\lim_{(\xi_1,\xi_2)\to(x_1,x_2)}u(p,1;\xi_1,\xi_2)
$ S_p(x_1,\dots,x_n):={f^{(n-1)}}^{-1}((n-1)!f[x_1,\dots,x_n]) ,$ f(x)=x^p
對數平均$ S_0=\lim_{(\xi_1,\xi_2)\to(x_1,x_2)}\frac{\xi_1-\xi_2}{\log\xi_1-\log\xi_2} identric 平均$ S_1=\lim_{(\xi_1,\xi_2)\to(x_1,x_2)}\exp\left(\frac{\xi_1\log\xi_1-\xi_2\log\xi_2}{\xi_1-\xi_2}-1\right)=\frac 1 e\lim_{(\xi_1,\xi_2)\to(x_1,x_2)}\left(\frac{{\xi_1}^{\xi_1}}{{\xi_2}^{\xi_2}}\right)^{\frac 1{\xi_1-\xi_2}}
閉區閒$ [a,b] で連續で開區閒$ (a,b)で微分可能な函數$ f:\R\to\Rで、$ \exist c\in(a,b)\left(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)\right)
閉區閒$ [a,b] で連續で開區閒$ (a,b) で微分可能な函數$ f,g:\R\to\R で、$ g(b)-g(a)\ne0 かつ$ \forall x\in[a,b](g'(x)\ne 0) ならば、$ \exist c\in(a,b)\left(\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}\right)
$ H_p(x_1,x_2)=\frac{{x_1}^p{x_2}^{1-p}+{x_1}^{1-p}{x_2}^p}2
作用素平均 (operator mean)
以下を滿たす作用素閒の二項演算$ \sigma
單調律$ A\le Cかつ$ B\le Dならば$ A\sigma B\le C\sigma D upper semi-continuity$ A_n\darr Aかつ$ B_n\darr Bならば$ (A_n\sigma B_n)\darr(A\sigma B)
transfer inequality$ \forall T(T^*(A\sigma B)T\le(T^+AT)\sigma(T^*BT))
規格化$ 1\sigma 1
作用素の不等式を考へるのに有用
實數または函數に對する各種不等式が,何らかの意味で Hilbert 空閒上の作用素 (または行列) に對して成立するのかといふ問題意識は作用素論において重要である.その際の難しさは作用素の非可換性及び空閒の無限次元性に由來するが,これを主に解析的手法でいかに乘り切るかといふのが (筆者のやうに完全に趣味の世界にのめり込んでゐる硏究者にとっての) 硏究の醍醐味である.特に,各種の作用素平均及びその (何らかの意味での順序の) 比較は作用素論で古くから硏究されてきた.この論說は,筆者自身も少なからずかかはった,このテーマに關する最近の硏究成果についての解說である･通常の論說より長い序文になってしまったが,非專門家の方々には序文のみを讀んで頂き分野の雰圍氣を理解して頂ければ幸いと考へてゐます.この論說の內容の多くは［22］に書かれてゐる事柄の部分集合であるが,もし興味をもたれた讀者がをられたとしたら,［2］,［7］,［32］等にも目を通すことをお勸めします. 久保-安藤の作用素平均を多變數の作用素の平均に擴張する硏究がこの 10 年餘りで非常に發展した．本講演では久保-安藤の作用素平均から多變數の平均への發展の流れを槪觀してから，多變數の作用素さらに確率測度に対する平均の硏究において不動點を考へる方法が如何に重要であるかを說明する．
順序統計量の平均
四分位點の平均
加重平均
加重算術平均
平均の收束列
$ \lim_{i\to\infty}a_i=\lim_{i\to\infty}b_i
漸化式$ a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}2,$ b_{n+1}=\sqrt{a_n b_n},$ n\ge 0
漸化式$ a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}2,$ b_{n+1}=\frac{2a_n b_n}{a_n+b_n}
漸化式$ a_{n+1}=\frac{2a_n b_n}{a_n+b_n},$ b_{n+1}=\sqrt{a_n b_n}