三値論理
3-valued logic、ternary logic、trivalent logic
それぞれの體系は古典論理を異なる意圖で擴張してゐ、保存する規則も異なる。それぞれの體系は異なる一般化に結び附くから「三値論理」の意味で網羅する事は有意義ではなからう table:indeterminate
A B A∧B A∨B A→B ¬A A⊗B A⊕B
T T T T T F T T
T F F T F F F T
F T F T T T F T
F F F F T T F F
T I I T I F I T
F I F I T T F I
I T I T T I I T
I F F I I I F I
I I I I T I F T
例 : 未來偶然命題
特稱否定$ sOpも不定を意味し得る
公理
$ A\to(B\to A).
$ (A\to B)\to((B\to C)\to(A\to C)).
$ ((A\to B)\to B)\to((B\to A)\to A).
$ (\neg A\to\neg B)\to(B\to A).
divisibility :$ (A\land B)\to(A\otimes(A\to B))
double negation :$ \neg\neg A\to A
實數意味論。min-max 代數と見做せる
$ v(T)=1,$ v(I)=0.5,$ v(F)=0
implication :$ v(A\to B)=\mathrm{min}(1,1-v(A)+v(B))
equivalence :$ v(A\lrarr B)=1-|v(A)-v(B)|
negation :$ v(\neg A)=1-v(A)
weak conjunction :$ v(A\land B)=\mathrm{min}(v(A),v(B))
weak disjunction :$ v(A\lor B)=\mathrm{max}(v(A),v(B))
strong conjunction :$ v(A\otimes B)=\mathrm{max}(0,v(A)+v(B)-1)
strong disjunction :$ v(A\oplus B)=\mathrm{min}(1,v(A)+v(B))
代數意味論
table:undefinedness
A B A∧B A∨B A→B ¬A
T U U T U F
F U F U T T
U T U T T U
U F F U U U
U U U U U U
$ A\to B\equiv\neg A\lor Bが成り立つ
RDB (relational database) の意味論
$ ({\rm NULL}={\rm NULL})\iff{\rm NULL}
table:meaningless
A B A∧B A∨B A→B ¬A
T M M M M F
F M M M M T
M T M M M M
M F M M M M
M M M M M M
Void 型の樣な、矛盾を含んだ推論
table:both
A B A∧B A∨B A→B ¬A
T B B T B F
F B F B T T
B T B T T B
B F F B F B
B B B B B B
R-mingle 3 (RM3)
table:RM3
A B A→B
T U F
F U T
U T T
U F F
U U U
HT (SmT。G3)
table:HT
A B A→B ¬A
T NF NF F
F NF T T
NF T T F
NF F F F
NF NF T F
table:Post
A B A∧B A∨B A→B ¬A
T 1/2 1/2 T 1/2
F 1/2 F 1/2 T
1/2 T 1/2 T F
1/2 F F 1/2 F
1/2 1/2 1/2 1/2 F
table:三値
A∧B T∧I=I、F∧I=F、I∧I=I T∧U=U、F∧U=F、U∧U=U T∧M=M、F∧M=M、M∧M=M T∧B=B、F∧B=F、B∧B=B T∧1/2=1/2、F∧1/2=F、1/2∧1/2=1/2
A∨B T∨I=T、F∨I=I、I∨I=I T∨U=T、F∨U=U、U∨U=U T∨M=M、F∨M=M、M∨M=M T∨B=T、F∨B=B、B∨B=B T∨1/2=T、F∨1/2=1/2、1/2∨1/2=1/2
¬A ¬I=I ¬U=U ¬M=M ¬B=B ¬NF=F ¬1/2=F
table:含意
T→X I U M B F NF
F→X T T M T T T
X→T T T M T T T
X→F I U M F F F
X→X T U M B U T
T→X は全ての體系で X
X→F と X→X に個性が表れる
T→F=F、F→F=F と同じ
T→T=T、F→F=F と同じ