t-norm - .｡oO(さっちゃんですよヾ(〃l

t-norm

triangular norm

確率論的計量空閒 (probabilistic metric spaces) での距離

以下を滿たす函數$ \top:\lbrack 0,1\rbrack\times\lbrack 0,1\rbrack\to\lbrack 0,1\rbrackを t-norm と呼ぶ

可換律$ \top(a,b)=\top(b,a)

單調律$ a\le c且つ$ b\le dならば$ \top(a,b)\le\top(c,d)

結合律$ \top(a,\top(b,c))=\top(\top(a,b),c)

單位律$ \top(a,1)=a

二項關係である residuum (殘差?。剩餘?)$ \rArr~\subseteq\lbrack 0,1\rbrack\times\lbrack 0,1\rbrackを$ z\le(x\rArr y):=\top(z,x)\le yで定義する

$ \top(-,x)と$ x\rArr -は Galois 接續である

例

drastic t-norm$ \top_D(a,b):=\begin{cases}b & {\rm if}~a=1 \\ a & {\rm if}~b=1 \\ 0 & {\rm otherwise}\end{cases}最小の t-norm

product t-norm$ \top_{\rm prod}(a,b):=a\cdot bproduct fuzzy logic を意味付ける

Łukasiewicz t-norm$ \top_{\rm Łuk}(a,b):=\max(0,a+b-1)Łukasiewicz fuzzy logic を意味付ける

minimum t-norm$ \top_{\rm min}(a,b):=\min(a,b)最大の t-norm。Gödel fuzzy logic を意味付ける

t-conorm (s-norm)

以下を滿たす函數$ \bot:\lbrack 0,1\rbrack\times\lbrack 0,1\rbrack\to\lbrack 0,1\rbrackを t-conorm と呼ぶ

可換律$ \bot(a,b)=\bot(b,a)

單調律$ a\le c且つ$ b\le dならば$ \bot(a,b)\le\bot(c,d)

結合律$ \bot(a,\bot(b,c))=\bot(\bot(a,b),c)

單位律$ \bot(a,0)=a

t-norm から t-conorm を$ \bot(a,b):=1-\top(1-a,1-b)で定義できる

de Morgan triplet$ (\top,\bot,x\mapsto 1-x),$ 1-\bot(a,b)=\top(1-a,1-b)

例

drastic t-conorm$ \bot_D(a,b):=\begin{cases}b & {\rm if}~a=0 \\ a & {\rm if}~b=0 \\ 1 & {\rm otherwise}\end{cases}最大の t-conorm

probabilistic sum$ \bot_{\rm sum}(a,b):=a+b-a\cdot b=1-(1-a)\cdot(1-b)product fuzzy logic を意味付ける。獨立事象の合成確率

bounded sum (Łukasiewicz t-conorm)$ \bot_{\rm Łuk}(a,b):=\min(a+b,1)Łukasiewicz fuzzy logic を意味付ける

maximum t-conorm$ \bot_{\rm max}(a,b):=\max(a,b)最小の t-conorm。Gödel fuzzy logic を意味付ける

單調減少函數 (monotonically decreasing function)$ n:\lbrack 0,1\rbrack\to\lbrack 0,1\rbrackは$ n(0)=1且つ$ n(1)=0であれば negator と呼ぶ

狹義單調減少函數 (strictly decreasing function)$ x<y\to n(x)>n(y)であれば strict negator と呼ぶ

strict で且つ$ n(n(x))=xであれば strong negator と呼ぶ

否定の否定の導入と除去

t-norm$ \topと t-conorm$ \botと strong negator$ nの組$ (\top,\bot,n)は以下を滿たすならば de Morgan triplet である

$ n(\bot(a,b))=\top(n(a),n(b))