雙曲幾何學
雙曲空閒
模型
Poincaré の上半空閒模型 (Poincaré upper half-space model)
上半平面 (upper half plane)$ \Bbb H
$ {\Bbb H}:=\{(x,y)\in\R^2|y>0\}
$ {\Bbb H}:=\{z\in\Complex|{\frak I}z>0\}
直線は x 軸上に中心を持つ半圓、または x 軸に垂直な直線として現れます。x 軸が「無限遠境界」です。
計量$ {\rm d}s^2=\frac{{\rm d}x^2+{\rm d}y^2}{y^2}
基本測地線
https://gyazo.com/99aae0267f70af7fc62cc67b47cb4134
平行線の例
https://gyazo.com/4e2f708f70d4817672fa021723934e51
雙曲三角形
https://gyazo.com/0ac15d7c871ca45dbb2b92e089d1666c
境界圓上の點が「無限遠」。直線は境界圓に直交する圓弧 (または直徑) として現れます。
計量$ {\rm d}s^2=\frac{4({\rm d}x^2+{\rm d}y^2)}{(1-x^2-y^2)^2}
平行線の例
https://gyazo.com/65ef50662672d030ee62d94b08bbfd98
一點を通る平行線群
https://gyazo.com/cfc484e1b449ff64997d7953e8ed56cc
雙曲三角形
https://gyazo.com/1f9a3b2101292e725da4c841d8d8f638
全體像
https://gyazo.com/18db9c3f6f81c359c525525e28d1c7a7
直線は開圓板の內部にある直線弦としてのみ現れます。ユークリッド的に「まっすぐ」に見えますが、角度の測定はポワンカレ圓板と異なります。
計量$ {\rm d}s^2=\frac{(1-|x|^2)|{\rm d}x|^2+(x\cdot{\rm d}x)^2}{(1-|x|^2)^2}
基本測地線
https://gyazo.com/f459d9c1510e3fdd818cb662f1a405f9
平行線の例
https://gyazo.com/35833b85dde4694e6b1c59f0b6234676
雙曲三角形
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擬球面 (pseudosphere)
雙曲面模型 (hyperboloid model)
雙曲三角法
雙曲空閒への木構造の埋め込み
木構造を雙曲空閒へ埋め込む話は、幾何學でも機械學習でも非常に自然です。直觀としては、木は根から離れるにつれて枝が指數的に增えてゆきますが、雙曲空閒も半徑に對する周長や體積が指數的に增えるため、この「枝分かれの增殖」と相性がよいのです。Nickel–Kiela はこの點を「雙曲空閒は木の連續版と見なせる」といふ方向で使ひ、階層データの表現に Poincaré 埋め込みを提案してゐます。  $ k-分岐木の深さ$ dにおけるノード總數は指數的に增えます : 深さ$ dの葉の數はおよそ$ k^d個です。Ευκλείδειος 空閒では球の體積が$ r^2(2 次元) や$ r^3(3 次元) で增えるにすぎず、指數的な增大に追ひつけません。深さが增すにつれて邊が短縮され、葉ノードが密集して重なり合ひます。 一方、雙曲空閒では半徑$ rの球の「體積」が$ e^rに比例して增えます。これが木の指數的成長とぴったり一致し、すべてのノードを均等な距離に配置できます。圖中で邊が境界に近づくほど短く見えるのは、ポワンカレ計量によるもので、雙曲計量では全邊の長さは均等です。
數學的には、木は最も單純な Gromov 雙曲空閒です。實木 ($ \R-tree) や通常の木は 0-hyperbolic の典型例であり、雙曲性の極限的な場合だと思へばよいです。したがって、「木を雙曲空閒へ埋め込む」といふのは、雙曲的な構造をもともと強く持つ空閒を、より滑らかな標準模型$ {\Bbb H}^nの中で表すことだと見られます。より一般には、Bonk–Schramm は、ある成長條件を滿たす Gromov 雙曲空閒が高次元雙曲空閒の凸部分集合へ roughly quasi-isometric に入ることを示してゐます。木はその文脈の最も基本的な例です。 
あるスケールにおいて成長が有界なグロモフ超曲的測地計量空閒 X は、槪準同型的に超曲空閒の凸部分集合に近似できることが示される。X の計量を正の定數倍で再スケーリングすることを許容する場合、距離の歪みが加算定數以內に收まるやうな埋め込みが存在する。
別の埋め込み定理によれば、任意の δ-超曲的計量空閒は、完全な測地的 δ-超曲的空閒に等長的に埋め込むことができる。
さらに、グロモフ超曲的空閒とその境界の關係について詳細に考察する。この硏究の應用例として、槪準同形性の範圍內での超曲平面の特徵附けが得られる。
數學の一分野として幾何學的群論と呼ばれるものがある. 幾何學的群論とは一言でいうならば, 無限離散群の性質を幾何學的手法で硏究する分野といへる. この分野では, 群に対し Cayley graph を考へることにより, 群そのものを幾何學的對象, つまり距離空閒 (測地空閒) としてみなすのが常套手段である. 1980 年代, Gromov は距離空閒に對して Gromov 積を定義し, それを用ゐて距離空閒が雙曲的であるといふ性質を定義した. また, Gromov は有限生成群が雙曲的であるといふ性質を, 「Cayley graph が雙曲的測地空閒となるやうな有限生成系が存在する」として定義し, 多くの重要な事實を示した. これが雙曲群の理論の始まりであり, 幾何學的群論の硏究で主要な役割を演じる理論の一つとなってゐる. 雙曲群を硏究するにあたって强力な武器となるのが雙曲的測地空閒における“ 無限遠 ”の槪念である. その一つに Громова 境界がある. 本稿では雙曲的測地空閒の Громова 境界に關する既知の事實と新しく得られた結果について述べることにする. 詳細に關しては［1, 2, 3, 4, 5］を參照されたい. 雙曲測地空閒 (δ-雙曲空閒)
Громова 積
$ (y,z)_x:=\frac 1 2(d(x,y)+d(x,z)-d(y,z))
距離空閒$ (X,d)は、任意の$ x,y,z,w\in Xについて$ (x,z)_w\ge\min\{(x,y)_w,(y,z)_w\}-\deltaなる$ \delta\in\Rが存在する時に、$ \delta-雙曲的であると言ふ Gromov δ-hyperbolicity
有限木については、かなり強い埋め込み結果があります。Sarkar は雙曲平面への埋め込みを與へ、任意の木を埋め込んでその Delaunay graph を元の木に一致させられること、さらに重みつき木では各邊の長さを雙曲距離として實現できること、そして非隣接點を含む全體の距離歪みも任意の$ \varepsilon>0に對して$ 1+\varepsilon未滿に抑へられることを示してゐます。言ひ換へれば、木計量は雙曲空閒の中で任意に小さい歪みでほとんどそのまま再現できます。 
本論文では、雙曲平面への木構造の埋め込み問題を考察する。任意の木構造は、その埋め込み頂點のデラノイグラフとして實現可能であることを示す。特に、重み附き木の場合、各邊の重みをその埋め込み頂點閒の雙曲距離として實現するやうな埋め込みが可能である。これにより、埋め込み處理は木の位相構造に加へて計量情報も保持する。さらに、非隣接頂點閒の距離歪みを任意に小さくすることが可能であり、任意の ε に対して (1 + ε) 未滿の歪みに抑へることができる。この結果により、離散計量を木構造に低歪みで埋め込む既存の硏究成果は、雙曲計量の場合にもそのまま適用可能となる。デラノイ特性からは、貪欲ルーティングの保證や最小全域木としての實現可能性といった有用な性質が導かれる。
Sarkar 構成 (2011)
この埋め込みの代表的アルゴリズムが Sarkar の構成です。根を原點に置き、各ノードの子を Möbius 變換で雙曲的に「前方」に配置します。キーとなる操作は、原點での配置を Möbius 變換$ {T_p}^{-1}(z) =\frac{z+p}{1+p\bar z}で親の位置$ pへ輸送することです。これにより、すべての親子閒の雙曲距離が等しく保たれます。 この「なぜ低歪みになるか」を直觀的にいへば、根に近いところでは枝を角度で分け、深い層へ行くほど境界方向へ點を押しやるからです。ポワンカレ圓板では半徑方向に少し動くだけで距離が大きく增幅されるので、深さの差を表しやすく、同時に角度方向の分離で兄弟枝どうしも切り分けられます。Sala らはこの系統の組合せ的構成を整理し、木に對してはほとんど完全な品質を持つこと、他方で長い鎖が多い場合には低次元固定精度では表現が苦しくなり、最大次數に對しては次元が對數的に、最長路徑長に對しては線形に效いてくることを論じてゐます。 
雙曲的埋め込み手法は、階層構造を持つデータ構造を低次元空閒に埋め込む際に、優れた品質特性を示す。本硏究では、最適化處理を必要とせず、任意に低い歪みで木構造を雙曲空閒に埋め込む組合せ論的構成法を提案する。WordNet データセットにおいて、このアルゴリズムはわずか 2 次元の埋め込みで平均精度 0.989 を達成し、既存手法を 0.11 ポイント上囘る性能を示した。さらに、任意の雙曲的埋め込みに內在する精度と次元數のトレードオフ關係を特徵附ける理論的限界値を導出した。一般的な距離空閒を埋め込み對象とする場合、我々は多次元尺度構成法 (MDS) の雙曲的一般化である h-MDS を提案する。本手法では、距離情報のみから雙曲空閒上の點を嚴密に再構成する方法を示し、攝動解析を行ふとともに、次元削減を可能にする復元結果を導出した。最後に、上述のアルゴリズムと理論から得られた知見を活用し、不完全な情報環境下でも對應可能なスケーラブルな PyTorch ベース實裝を設計した。 機械學習でよく使はれる Poincaré 埋め込みは、厳密な「木の等距離埋め込み」を常に保證するわけではありませんが、階層や taxonomy のやうな木に近いデータを少ない次元で表しやすいといふ利點があります。Nickel–Kiela は、ポワンカレ球で階層と類似性を同時に表せ、Euclid 埋め込みより表現力と汎化性能が高い場合があると報吿してゐます。純粹數學の埋め込み定理と、データ解析の埋め込み法とは目的が少し違ふものの、どちらも「雙曲空閒の指數的な広がりが木的構造に合ふ」といふ同じ核心を使つてゐます。  Poincaré 埋め込み (Nickel & Kiela, 2017) はこの原理を機械學習に應用し、WordNet のような階層データを低次元 (2 次元でも充分) の雙曲空閒に埋め込むことで、Ευκλείδειος 空閒より格段に忠實な階層表現を實現しました。グラフニューラルネットワークや知識グラフの分野でも廣く硏究されてゐます。 まとめると、木構造の雙曲空閒への埋め込みには三つの層があります。第一に、木そのものが 0-hyperbolic であるといふ理論的背景。第二に、有限木は雙曲平面へ任意に小さい歪みで埋め込めるといふ具體的構成。第三に、その性質を利用して階層データを低次元で表すといふ應用です。 
本論文では、計量木と δ-雙曲空閒に對する定義の同値性を證明する。さらに、これらの同値性が δ-雙曲空閒の幾何學的性質および計量的性質を理解する上でどのやうに有用であるかを明らかにするとともに、CAT(κ) 空閒との關聯性についても考察する。