順序数
ordinal number
整列集合同士の"長さ"を比較するために、自然数を拡張させた概念 どのへんが「自然数の拡張」？
「~の長さを比較するため」なの？
これが目的なの？
以下の様に空集合から再帰的に定義していく
$ 0:=\emptyset
$ 1:=\{0\} = \{\emptyset\}
$ 2:=\{0,1\}=\{\empty, \{\emptyset\}\}
...
$ n+1:=\{0,1,\cdots,n\}=n\cup\{n\}
わかりやすく書いておくと
https://gyazo.com/1b25785e667f4d41dfce1900db5219b3
$ \omega=\{0,1,2,\cdots\}
有限な順序数の集合
$ \omega+1=\{0,1,2,\cdots,\omega\}
関連
『集合とはなにか』.icon p.82
参考