積の普遍性の証明
ある圏$ \mathscr{A}とその対象$ X,Yに対して
$ X\leftarrow X\hat{\times}Y \rightarrow Y
$ X\leftarrow X\overline{\times}Y\rightarrow Y
のような関係$ \hat{\times}と$ \overline{\times}があるとして、これらが共に積ならば、$ X\hat{\times}Y \cong X\overline{\times}Yである つまり、圏$ \mathscr{A}の対象$ X,Yにおける積の関係は、同型を除いて一意である
ということを証明する
上の2つの関係をもう片方に適用したものを考える
https://gyazo.com/a30088b51f8415ef521bbb7e2d5ecac8
$ X\hat{\times}Yと $ X\overline{\times}Yが同型であることを示すためには、同型の定義を満たせば良い
つまり、
$ f,gが互いの逆射であり、
$ g\circ f=\mathrm{id}_{X\overline{\times}Y}かつ$ f\circ g=\mathrm{id}_{X\hat{\times}Y}
を満たせばいい
上の2つの図を重ねたものを考える
https://gyazo.com/dee22dc5db32eb01132d80a4ddb39492
これをちょっと書き換えると以下になる
https://gyazo.com/e8877bf69f24485a12ae213e8db77a69
すると、$ f\circ g=\mathrm{id}_{X\hat{\times}Y}が言える
図を少し書き換えることで、同様にして$ f\circ g=\mathrm{id}_{X\hat{\times}Y}が言える
よって、同型射が存在するので$ X\hat{\times}Y \cong X\overline{\times}Y
参考