積の普遍性
$ A,Bを対象とする
任意の対象$ Xと、射$ x_A: X\to A, $ x_B:X\to Bに対して、
射$ X\to A\times Bで以下の図式を可換にするものが一意に存在する
https://gyazo.com/288190cd082a077c2cb5887d385fb675
この時、
$ \lang x_A,x_B\rang: X\to A\times Bであり、
$ \lang x_A,x_B\rang(a) = (x_A(a),x_B(a))である
つまり、
$ p_A\circ\lang x_A,x_B\rang=x_Aかつ
$ p_B\circ\lang x_A,x_B\rang=x_Bであり、
$ \lang x_A,x_B\rangはこの様になる唯一の関数になる
$ \lang x_A,x_B\rangのことを仲介射という 証明
例
『圏論入門』.icon p.64の例がすごいわかりやすい
順序集合の圏$ (X,\le)を考える
https://gyazo.com/0c69f149ffb4793782d1585303bada21
この②があるときに、唯一の③が存在することが、普遍性の観点で重要なこと
他にもベシ圏.icon p.131~や、これにいろいろな例が紹介されている 線形空間、位相空間、最大公約数、における直積