生成元
generator
$ \langle S\rangleを、「「$ Sの元による語」全体の集合」とすると $ Sを含む$ Gの最小の部分群は$ \langle S \rangleになる
$ S\subset \langle S \rangle \subset Gという関係になる
$ Sは集合で、$ \langle S \rangle, Gは群だよmrsekut.icon
$ \lang S\rang が「$ Sを含んだ最小の部分群になるとき」かmrsekut.icon
これがないと「$ Gの部分集合は生成系です」になっちゃうmrsekut.icon
ちがうきがするmrsekut.icon
https://gyazo.com/9ff844fd63215b525b44ea9fca527d2d
$ \langle S \rangle=\{Sのすべての語\}
前提としてはこんな感じ
まず群$ Gがある
ここから適当に部分集合$ Sを取る
これは集合。群である必要はない
では、この$ Sを含んだ最小の部分群はなに？を知りたい
https://gyazo.com/d48d816fc28d0f773be2e69abf746e00
図の青い部分がどういうものか、を知りたいmrsekut.icon
結論を言うとこれが、$ \langle S \rangleになる
これのことを「$ Sで生成された部分群」と言う
例
$ x\in Gのみを含む部分集合$ S=\{x\}について見る
$ \lang S\rang=\{x^m|m\in\mathbb{Z}\} になる
これのことを$ \lang x \rangと書いたりする
本来は$ \lang \{x\}\rangと書くべきだが、わかるので