最適線形符号問題
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shortened code
$ \mathcal{C} を$ [n,k,d]_q 符号とし、$ Gを$ \mathcal{C}の生成行列とする
$ d\ge 3
$ G の第1鉄を$ {}^t[1,0,\cdots,0] とするとき、$ Gの第1列と第1行を除いて得られる行列で生成される符号$ \mathcal{C}_sを$ \mathcal{C}の短縮符号と言う
$ \mathcal{C}_s は、$ [n-1,k-1,d_s]_q 符号
$ d_s\ge d
削除符号の逆で$ [n,k,d]_q 符号$ \mathcal{C}の生成行列$ Gに1列を追加して $ [n+1,k,d+1]_q 符号$ \bar{\mathcal{C}}が得られるとき、
このとき、$ \bar{\mathcal{C}}を$ \mathcal{C}の拡張と言う
定理
$ [n,k,d]_q 符号$ \mathcal{C} が最適な符号ならば、$ [n+1,k,d+1]_q 符号$ \bar{\mathcal{C}}も最適 $ d が奇数のとき、$ [n,k,d]_2 符号$ \mathcal{C}は拡張可能