対数正規分布

log-normal distribution

変数の対数が正規分布に従う場合、その変数が従う分布

ある変数が多くの小さなランダムな要因の積によって生じる場合に適用されることが多い

$ LN(\mu,\sigma^2)とか$ \Lambda(\mu,\sigma^2)と表記する

期待値

$ e^{\mu+\frac{\sigma^2}{2}}

分散

$ e^{2\mu+\sigma^2}(e^{\sigma^2}-1)

確率密度関数

$ f(x;\mu,\sigma)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^{2}} x} \exp \left(-\frac{(\ln x-\mu)^{2}}{2 \sigma^{2}}\right)

$ \mu: 正規分布の平均（対数空間での平均）

$ \sigma: 正規分布の標準偏差（対数空間での標準偏差）

$ x: ランダム変数

例

所得分布

株価の変動率

都市の人口

code:py

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

from scipy.stats import lognorm

# パラメータ

sigma = 0.954 # 対数空間での標準偏差

mu = 0 # 対数空間での平均

x = np.linspace(0.01, 5, 100) # ランダム変数の範囲（0を含まない）

# 対数正規分布の確率密度関数（PDF）を計算

pdf = lognorm.pdf(x, s=sigma, scale=np.exp(mu))

# プロット

plt.figure(figsize=(8, 6))

plt.plot(x, pdf, 'bo-', ms=3, alpha=0.5)

plt.title(f'Log-Normal Distribution PDF (mu={mu}, sigma={sigma})')

plt.xlabel('Random Variable (x)')

plt.ylabel('Probability Density')

plt.grid(True)

plt.show()

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