定義域が直積圏な関手の個別の関手
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関手$ F:\mathscr{A}\times\mathscr{B}\to \mathscr{C}が存在する時、以下の2つの関手が存在する
関手$ F^A:\mathscr{B}\to\mathscr{C}
関手$ F_B:\mathscr{A}\to \mathscr{C}
単純化して言えば、$ Fの行き先を片方を固定したような関手があるよってことmrsekut.icon
これらの関手は以下のようにして定義される
関手$ F^A:\mathscr{B}\to\mathscr{C}
各$ A\in\mathscr{A}に対して、
対象の対応
$ \forall B\in\mathscr{B}について、$ F^A(B)=F(A,B)
射の対応
$ \mathscr{B}の射$ gについて、$ F^A(g)=F(1_A,g)
関手$ F_B:\mathscr{A}\to \mathscr{C}
各$ B\in\mathscr{B}に対して、
対象の対応
$ \forall A\in\mathscr{A}について、$ F_B(A)=F(A,B)
射の対応
$ \mathscr{A}の射$ fについて、$ F_B(f)=F(f,1_B)
参考
この2つの関手の存在についての証明問題