双対圏
dual category
元の圏と同じ対象を持ち、矢印の向きだけを反転させた圏
圏$ \mathscr{A}の双対圏は$ \mathscr{A}^\mathrm{op}と表記する
oppositeのop
$ A^*と表記することもある
元の圏と双対圏
対象
同じ
$ \mathrm{ob}(\mathscr{A}^\mathrm{op})=\mathrm{ob}(\mathscr{A})
射
向きが逆
$ f^\mathrm{op}:B\to A
恒等射
同じ
合成
引数の順序が逆転する
$ \mathscr{A}の射$ A\xrightarrow{f}B\xrightarrow{g}C
$ \mathscr{A}^\mathrm{op}の射$ A\xleftarrow{f}B\xleftarrow{g}C
を、考えると$ A\xrightarrow{g\circ f}Cと$ A\xleftarrow{f\circ g}Cになるってだけ
つまり$ f^\mathrm{op}g^\mathrm{op}=(gf)^\mathrm{op}になる
性質
$ fがエピ射のとき、かつそのときに限り、$ f^\mathrm{op}はモノ射になる 逆もしかり