剰余符号
$ \mathcal{C}
$ [n, k, d]_q 符号
$ c ∈ \mathcal{C}
重み$ w (> 0)の符号語
簡単のために、$ cの
第1成分から第$ n − w成分は 0、
第$ n − w + 1成分から第$ n成分は 1
であるとする
$ cを第1行とする$ \mathcal{C}の生成行列を$ Gとし、
$ Gの第1行と第$ n − w + 1列～第$ n列を削除して得られる行列を$ Grとする
$ Gr を生成行列とする$ [n − w, kr, dr_q符号$ R(\mathcal{C}, c) を
$ \mathcal{C}の c に関する剰余符号 (residual code) という。
$ [n, k, d]_q 符号$ \mathcal{C}が重み$ wの符号語$ cをもち、$ d > w − w/qをみたすならば、
$ R(\mathcal{C}, c) は$ [n − w, k − 1, dr]_q 符号で、$ dr ≥ d − w + ⌈w/q⌉ をみたす。
但し、$ ⌈x⌉ は x 以上の最小整数を表す
このとき$ w=dとすると
$ [n,k,d]_q 符号が存在するならば、$ [n-d,k-1,[d/q]]_q 符号が存在する