シローの定理
Sylow theorems
群の位数と部分群に関する定理
定理
$ |G|=p^s_1,p^t_2,\cdots,p_n^wと一意的に素因数分解されるとき、位数が$ p^2_1,p^t_2,\cdots,p^w_nとなる部分群が少なくとも1つ存在する
$ Gは群、$ pは素数
例
$ |G|=2^2\times3なら、位数が$ 4と$ 3の部分群がそれぞれ少なくとも1つは存在する
逆に群$ Gの位数が素因数分解されないことって、そんなことあるんか？ たぶんない
だから任意の有限群には必ずシロー群が存在する
$ p-シロー群
位数$ |G|=p^mlで表されるとき$ p^m個の元を持つ部分群 $ lは素数$ pと互いに素な数
参考