クライスリ圏
Kleisli category
圏$ \mathscr{A}上のKleisli Triple$ (T,\eta,(-)^*)が与えられたとき、クライスリ圏$ \mathscr{A}_Tとは $ \mathscr{A}_Tの対象は、$ \mathscr{A}の対象と同じ
射$ f_T:X_T\to Y_Tは、$ \mathscr{A}上の$ f:X\to TY
恒等射$ 1_{X_T}は、$ \mathscr{A}上の自然変換$ \eta_X
前提
圏$ \mathscr{A}_Tとその対象$ X_T,Y_T、射$ f_T:X_T\to Y_T
慣れるまでは元の圏$ \mathscr{A}上で見るとわかりやすいmrsekut.icon
対象$ Xと射$ fを関手$ Tでくるんだもの($ T(X),T(f))を括弧を省略して$ TX, Tfと書いているmrsekut.icon
https://gyazo.com/6718a89592567d6a53e2617ccc2e1f55
左が元の圏$ \mathscr{A}で、右がクライスリ圏$ \mathscr{A}_T
同じ色の矢印が対応している射
$ F,Gは関手
関手$ F:\mathscr{A}\to\mathscr{A}_Tの対応付け
図中の太線水色の対応
$ F(X\xrightarrow{f'}Y)=X_T\xrightarrow{(\eta_Y\circ f')_T}Y_Tという対応付け
$ \etaはモナドやクライスリトリプルの$ \eta:A\to TAのやつ
関手$ G:\mathscr{A}_T\to\mathscr{A}の対応付け
図中の太線オレンジの対応
$ G(X_T\xrightarrow{f_T}Y_T)=TX\xrightarrow{\mu_Y\circ (Tf)}TY という対応付け
$ \muはモナドの$ \mu:T^2A\to TAのやつ
関手の合成をすると$ GF=Tになる
https://gyazo.com/4768e89bee53139a4d87af7110d9bf57
参考
むずい