ウィルコクソン=マン=ホイットニー検定

独立した2つの母集団が同じかどうかを仮説検定する

$ H_0:2つの母集団分布は同じ

例

2つの科目に付けられた順位を比較する

table:順位

1 2 3 4 5 6 7 8 9 19 合計

A 0 3 2 3 2 1 1 1 4 5 22

B 5 4 4 1 2 2 1 2 0 1 22

人数

N=44, m-22-n

$ H_0:A,Bに付けられた順位の分布は同じ

$ H_1:A,Bにつけられた順位の分布は異なる

table:平均順位

1 2 3 4 5 6 7 8 9 19

3 9 15.5 20.5 24.5 28 30.5 33 36.5 41.5

$ w_1=9\times3+15.5\times2+\cdots+41.5\times5=613.5

$ w_2=3\times5+9\times4+\cdots+41.5\times1=376.5=\frac{44\times45}{2}-613.5

$ u_1=22^2+\frac{22\times23}{2}-613.5=123.5=u=990-613.5

$ u_2=22^2+\frac{22\times23}{2}-376.5=360.5=22^2-123.5

$ \mu=\frac{22^2}{2}=242

$ \sigma^2=\frac{22^2}{44\times43\times12}\{44^3-44-((5^3)-5)-\cdots-(6^3-6)=42.54^2\}

$ u_0=\frac{123.5-242}{42.54}=-2.785\lt-2.32=-z(0.01)

有意水準1%で$ H_0は棄却される

2つの科目で順位に違いが見られる