Lembekの定理

$ (I,i)がF-始代数ならば、$ I\cong F(I)が成り立つ

任意のF-代数$ (X,\phi)に対して以下の可換図式が成り立つ

https://gyazo.com/b216d34159845ac6092f21acb4678693

かなり丁寧な証明

上図の$ Xに$ F(I)を入れる(少し記号は変えている)

https://gyazo.com/53bf1388743f072c592da5fbf321a659

図1

$ (I,i)がF-始代数なので、上図を可換にする射$ aが唯一存在する

今示したいことは「$ Iと$ F(I)が同型である」ということであるので

$ I, F(I)間に準同型が存在し、その合成が恒等射になっていればいい

上図を見ると、$ i:F(I)\to I、$ a:I\to F(I)がいるので、これらが互いに逆射になっていることを示せばいい

まず$ i\circ a =\mathrm{id}を示す

上の図を下に伸ばす

https://gyazo.com/9150a95fe132ed9864f28b44b5ad224a

図2

このときの緑矢印$ i\circ aに着目する

前提として$ (I,i)はF-始代数なので、

$ (I,i)から$ (I,i)に対する自己F-代数準同型も一つしかない

これは$ \mathrm{id}

なので$ i\circ a=\mathrm{id}

次に$ a\circ i=\mathrm{id}を示す

$ a\circ i=F(i)\circ F(a)(図1の可換性より)

$ =F(i\circ a) (関手の定義より)

$ =F(\mathrm{id}) (上の議論により)

$ =\mathrm{id}

故に、$ a=i^{-1}なので$ I\cong F(I)

参考