対角関手 - mrsekut-p

対角関手

diagonal functor

関手圏Fun$ (1,\mathscr{C})から、関手圏Fun$ (\mathscr{J},\mathscr{C})への関手$ \Delta

https://gyazo.com/c4016fe4bb98cedca80c77d205ee0b2a

単位圏1から$ \mathscr{C}への関手は、つまり$ \mathscr{C}の各対象を見ている

青いところは定関手

$ Xへ行く定関手$ \Delta_X:\mathscr{J}\rightarrow\mathscr{C}は以下のような関手

$ \forall A\in\mathscr{J}に対し、$ \Delta_X(A)=X

$ \mathscr{J}の任意の射$ aに対し、$ \Delta _X(a)=\mathrm{id}_X

定関手の定義そのものだねmrsekut.icon

$ f:X\rightarrow Yへ行く定関手$ \Delta_f:\mathscr{J}\rightarrow\mathscr{C}は以下のような関手

$ \Delta_f:\Delta_X\Rightarrow\Delta_Y

https://gyazo.com/09fdef5bf20683e5b00240bfef83c544

いつもの自然変換の図はこんな感じだったね、復習mrsekut.icon

https://gyazo.com/62677991a4cde642bff08bdf3227688f

参考