群の指数の積 - 🍊miyamonz🍊

群の指数の積

群Gの２つの部分群$ H \supset Kに対し、

$ (G:H)(H:K) = (G:K)

特に$ K = \{e\}とすると

$ (G:H) \sharp H = \sharp G

ただし、

$ (G:H)はHのGにおける指数　 see 部分群の指数

#Gは群Gの濃度

証明

各剰余集合$ G/H, H/Kの代表元をとって、剰余類別

$ G = \coprod_{i \in I}x_iH, $ H = \coprod_{j\in J} y_jK

を考える。

この時

$ G = \coprod_{(i,j) \in I \times J} x_iy_j K

がGのKに関する剰余類別を与える事が容易にわかる

$ \sharp I = (G:H), $ \sharp J = (H:K)ゆえ、命題の主張が導かれる

群の指数の積