ラグランジュの定理
有限群の部分群の位数は元（もと）の群の位数の約数である。
G を有限群とし、H を G の部分群とする。このとき部分群 H の位数は群 G の位数を割り切る。 実は、任意の群に対し、（選択公理を認めれば）部分群の指数を用いて次のような式が成り立つ。 $ \sharp G = (G:H) \sharp H
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ラグランジュの定理の逆は一般には成立しない
位数 n の有限群 G と n を割り切る自然数 d が与えられたとき「位数が d である G の部分群が存在するか」
位数12である4次の交代群 $ G = A_4 が位数6である部分群をもたないので、（群 G の位数が最小の）反例を与える 特別な状況では逆が成立することが知られている。その最たる例はシローの定理 (さらにコーシーの定理)