生成されるイデアル
$ RS = \{ \sum_{\text{有限和}} a_ix_i \mid a_i \in R, x_i \in S \}
は明らかにSを含む最小の左イデアル
理由
最小性
Sを含むイデアルIに対して
$ RS \subset Iを言えばいい
Sを含む左イデアル$ Iについて、
$ S \subset Iである このとき
Sの元sに対して、$ s \in S \subset Iより
$ \sum_{\text{有限和}} a_ix_i \in I where $ a_i \in R, x_i \in S
よって$ RS \subset I
↑
Sを、左イデアルRSの生成系
Sの元を生成元という
同様に
両側イデアル RSR
も定義される
特にSが有限集合$ S = \{ x_1, x_2, ... x_n \}のとき
$ RS = \sum_{i=1}^n Rx_i = Rx_1 + Rx_2 + ... Rx_n
ともかき、
さらにRが可換のときは
$ RS = SR = RSRを$ (x_1, x_2, ..., x_n)とかくことも多い