有利整数環は単項イデアル環
from 単項イデアル環
有利整数環は単項イデアル環
有利整数環Zの勝手なイデアル$ Iを考えよう
$ I \ne 0とすると
$ Iは必ず正の整数を含む
$ Iは0でない整数nを含み、部分加法群ゆえ、$ -nを含むゆえ
$ I \ne 0が含む最小の正の整数を$ n_0とする
このとき
$ I = \bold{Z} n_0 = (n_0)
すなわち、$ Iは$ n_0で生成される単項イデアルになる
$ (n_0) に関して　see 生成されるイデアルの表記
証明
巡回群のときと同じ論法
略 掘田 p36
剰余の法則
同様に多項式環も示せる