剰余類
この時元$ x, y \in Gに対して、関係$ \simを $ x \sim y \Leftrightarrow x^{-1}y \in H
同値関係の確認略
この部分群Hによる同値関係に置いて、$ x \in Gの定める同値類は $ C(x) = \{ y \in G \mid x^{-1}y \in H \}
である、ところが、$ x^{-1}y \in Hであるということは、ある$ h \in Hに大して、 $ y = xh であることを意味するから、
Gの部分集合を
$ xH := \{ xh \in G \mid h \in H \}
と定義すると、$ C(x) = xHとなる
このような、xが代表元となる同値類xHのことを、群論では、左剰余類という Hによる左剰余類全体の集合が、関係$ \simによる商集合$ G/{\sim}である この商集合を$ G/Hと書いて、GのHによる左剰余集合という または記号どおりにたんに、GをHで右から割った集合（または空間）ともいう
同様に、
$ x\mid y \Leftrightarrow xy^{-1} \in Hと同値関係を定義して、x が代表元となる同値類は
$ Hx := \{ hx \mid h \in H\}
となる（右剰余類）
この同値関係による商集合$ G/{\sim}を$ H\backslash Gと書く
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イメージとしては、まさに群をその部分群で""割る""ことができるということ
剰余類