ユークリッド整域は単項イデアル整域
$ \varnothing \ne \{ |x| \in N \mid 0 \ne x \in I \} \subset N
には最小限$ |x_0| (0 \ne x_0 \in I)が存在する
このとき、任意の$ x \in Iに対して
$ x=dx_0 + r $ |r| \lt |x_0|
となる$ d,r \in Rが存在する
ところが、$ r = x - dx_0 \in Iと$ |x_0|の最小性から、
$ r = 0でなければならない
すなわち
$ x = dx_0 \in Rx_0ゆえに$ I = Rx_0
逆は一般には成り立たない