ポアソンの極限定理

パラメータが n と p = λ/n である二項分布において、

λ を一定に保ったまま n を無限大に近づけると、その分布は平均 λ のポアソン分布に近づく。すなわち、

$ \lim _{{\lambda =np,n\to \infty }}{n \choose k}p^{k}(1-p)^{{n-k}}={\frac {\lambda ^{k}e^{{-\lambda }}}{k!}}

が成り立つ。これをポアソンの極限定理という。

定理の名は、ポアソンが1837年に著書 "Recherches sur la probabilite des jugements" (Researches on the Probabilities)の中で結果を与えたことに由来する。

なお、この中で二項分布の極限としてポアソン分布が初めて導出されている。

ポアソン分布の発表が一年後の1838? 発表は著述より後だなmoyamin.icon

導出の詳細を次に示す。計算には、以下の関係式を用いる。

$ \lim _{n\to \infty }\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{n}=e^{-\lambda }

ここで p = λ/n とすると、

https://gyazo.com/b8ab1f9be5ebbffee019db4d79ac7e1a

n を無限大に近づけると、4つの下波括弧のうち、最初の下波括弧の部分は、1に近づく。2番目の下波括弧の部分には n が出現しないので、そのままである。3番目の下波括弧の部分は、e−λ に近づく。最後の下波括弧の部分は、1に近づく。

したがって極限は存在し、

$ { \lambda^k e^{{-\lambda}} } \over k!

となる。