等比数列の和
なのでそちらの知識がまず必須です。
並べて眺めてみる作戦です。
$ S_a = a+ar+ar^2+...+ar^{n-1}・・・①とします
$ S_aにくわえて、その両辺に r をかけた$ r \times S_aを登場させます。
そして $ S_a - r \times S_aをしてみます。
・$ r \times S_aを登場させる
当然右辺のすべての項にもrがかかり、以下のようになります。
$ r \times S_a = ar+ar^2+ar^3+...+ar^n・・・②とします
・$ S_a - r \times S_a、すなわち①-②をしてみます。
$ S_a - rS_a = a+ar+ar^2+...+ar^{n-1} - ar-ar^2-ar^3-...-ar^n
これをさらに、右辺の打ち消しあった分に注意して変形してみると・・・
$ S_a(1-r) = a - ar^n
$ S_a(1-r) = a(1 - r^n)
ここまで変形できたら、ここでいったん息をつきます。
元々求めたかったものはなんだったでしょうか？
そう、今回もともと求めたかった等比数列の和は$ S_aでした。なので、左辺を$ 1-rで割り、$ S_a = ?の形にしむけていきます。
$ S_a = \frac{a(1-r^n)}{1-r}
上の式が、等比数列の和を色々計算してとっても圧縮した形、公式と呼ばれているものです。
等差数列の和の時と同じように、閃きによって公式が圧縮され、呪文のように短くなりました。