ファイナンス理論

定義

目的

許容範囲内のリスクで、最大のリターンを生み出す投資の組み合わせを見つけること

そもそも「リスク」と「リターン」の関係とは？

投資による利益の「率」（％）

関係性

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３資産の効率的フロンティアについて（）

１：１対応のポートフォリオを組み合わせていく

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複数資産の効率的フロンティアについて

同様

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資産の「ウェイト」って何？

数学的な定義と解

分散

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定義

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ソルバーについて

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ランダムウォークに関する基本的理解、確率論との不思議な関係

博論が基になっており、とんでもなく優秀な論文が後世で研究された

利益を追求していこうという投資は分散投資に負けてしまう

似たような話

液体の中に浮かぶ微小粒子が衝突により無作為に動き回ること

※ウィナー過程という数学モデルで厳密に定義されている

多くの時系列データのモデル化にこの数学モデルが用いられている

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無限を仮定すると成立する

現実にはそんなことないのでダメ

free lunchは非存在

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数学的な定義

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過程の各時点での値は、独立な正規分布からのサンプルの蓄積になるため、Xtの分布は正規分布になる

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対数系列がランダムウォークになるため、log(Xt)の分布が対数正規分布になる

正規分布と対数正規分布

「対数をとる」と「指数変換する」とは何か？

ブラウン運動とその一般化

「時間空間を無限に小さくすることで、連続時間における関係を得る」とはどういうことか？

「ドリフト付き」って何？

株価の変動は乗算的な形でないといけない→なんで？

株価の基本的なモデル

金融危機に際した金融工学への批判

正規分布または対数正規分布でモデル化してることに金融危機の背景がある

特殊な株価の動きをモデル化できていない

もっとも原始的なモデルが幾何ブラウン運動によるモデル化

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「変化率」＝ブラウン運動だから

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数学的定義：

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t+1の時点での期待値＝（１期先の株価）は、現在の株価と等しい

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目的と必要性

１年後にメルカリの株価が欲しいとしても、死ぬほど高くなってるかもしれない。それに対して１年後に任意の数量・価格でコール・プットのオプションを保有できる。

参照：

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ボラティリティ（σ）に対して、オプション価格は単調増加する

ボラティリティが高いほど、オプション＝保険の価値が上がる、ということを数学的に導いているだけ

ちなみに、このコール・プットオプション価格をこの形に定式化できているのはめちゃくちゃ美しいっぽい

エクセル演習

乱数を用いたシュミレーション

エクセルの「rond関数」を利用してコイントス

What-if分析によるシナリオ別オプション価格計算

散布図の作成

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過去のデータから未来のデータを予測する目的で扱う

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➢STL分解：

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事例：宿泊需要

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→観光シーズンや特定のイベントによる影響を可視化したい

データの解析：

トレンド

季節性

周期性の識別

地域のイベント等との関連性

予測のアプローチ：

どのモデルを選択するか？

データの品質と前処理は？

未来の宿泊予約数や観光客の流入予測など（目的）

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統計的アプローチの概観：

現在時点のデータが「自分の」過去のデータポイントに依存している

昨日の気温が今日の気温に影響を与える

条件

1期前とか2期前と相関するかもしれないけど、相関が一定ってことらしい？

ホワイトノイズっぽいってことじゃない？

多くの時系列モデル（AR 、MA…MA…）は、定常性を前提としている。

定常でない時系列データをそのままモデルに適用すると、誤った予測や誤解を招く可能性がある。

Dicky-Fuller検定で単位根の有無を確認して、まだ単位根が残ってたらモデルを工夫しなければいけないねーってなる。

※株価データは通常単位根を持つことが知られている.

(ランダムウォークの一種)

ボラティリティを予測する

予測モデルには平均値の予測がけっこう多い

割と1期前のデータだけで平均値当たったりするんだけど、

市場が流動化する、取引が活性化するほど裁定がなくなっていく

→１次モーメント→２次モーメントへと移っていき、数学的にも高度になっていく。

つまり、非効率的な部分は縮小していく

STL分解

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非定常なデータ同士が同様の時間トレンドを持つ場合、単純な線形回帰を行うと高い相関が確認されることがある。しかし、これは真の関係ではないため注意が必要

→なんでこんなことが起きるのか？

こういうことが発生するから、

ホワイトノイズの和分の回帰をとると、なぜか見せかけの回帰が発生してしまう

２つのホワイトノイズは全く別のデータから算出されているのに

☟

和分じゃなくて、差分をとったもので回帰を見る必要がある

非定常なデータの和分をとったものだから、差分？

ARMAモデルとARIMAモデル

両方とも過去のデータには基づいてる

ARIMAモデルは、定常なデータの和分モデル

「差分」がARMAモデルにフィットする？

指数平滑化

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１期先を予測するとき、実測値で予測する

（ナイーブフォーキャスト）

それに季節性を加味したものが指数平滑化

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外生変数が多ければ多いほど、機械学習モデルのほうが効果的

ＬＡＳＳＯ回帰・Ｒｉｄｇｅ回帰

回帰係数が大きくなっちゃうほど、Lが大きくなっちゃう

予測に寄与しない変数は０にしたほうがいい

λ、βの登場

β（回帰係数）を縮小させて、ｙとの乖離の大きさを修正するように式を調整してる

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アンサンブル予測

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