体は整域
定理
つまり、体は零因子を持たない
証明
示すべきこと：$ a, b \in Fに対して、$ ab = 0ならば$ a = 0 or $ b = 0
$ ab=0と$ b \neq 0を仮定して、$ a = 0を導く
$ ab = 0より、両辺に1を足すと
$ ab+1 = 1
$ bは乗法における逆元$ b^{-1}を考えると、
$ ab + b^{-1}b = 1
分配法則により
$ (a+b^{-1}) b = 1
よって、$ a + b^{-1}は$ bの逆元
$ a + b^{-1} = b^{-1}
両辺に$ -b^{-1}を足せば
$ a = 0