一意分解整域での素元と既約元
#数学 #抽象代数 #一意分解整域 #素元 #既約元
定理
以下の命題は同値
1. 整域$ Dが一意分解整域である
2. 整域$ Dのすべての既約元が素元
3. 整域$ Dの既約元と素元は一致する
素元は既約元なので、2.から自明に従う
証明
一意分解整域では既約元は素元
$ rを既約元とする
任意の$ a, b \in Dに対して、$ r | abならば$ r|aか$ r|bであることを示せば良い
$ r|abより、元$ c\in Dがあって、$ rc = abとなる
これの一意分解を考える（$ \alpha_i, \beta_j, \gamma_kは既約）
$ rc = r \cdot (\gamma_1 \cdots\gamma_l)
$ ab=(\alpha_1 \cdots \alpha_m) \cdot (\beta_1 \cdots \beta_n)
この分解が一意なので、$ \alpha_i, \beta_jの中の一つが$ rに等しい
$ \alpha_i=rならば、$ r | a
$ \beta_j = rならば、$ r|b
よって、$ rは素元
すべての既約元が素元ならば、一意分解整域
整域では、素元による分解は一意なので、自明