全称命題と存在命題
全称命題：「すべての$ xについて$ P(x)」という形の命題 $ P(x)は条件
例
変数$ xの変域を$ \Nとしたとき、すべての$ xについて$ x\leqq x^2
$ 1の場合$ 1=1^2
$ 2の場合$ 2<2^2
$ 3の場合$ 3<3^2
…
$ xにどんな値を代入しても正しくなる。よってこの命題は真
というように真偽の判定ができるので、これは命題
存在命題：「ある$ xについて$ P(x)」という形の命題 例
変数$ xの変域を$ \Nとしたとき、ある$ xについて$ x=x^2
上の具体例を参照すればわかる、これは$ x=1のときに正しくなる
$ 1の場合$ 1=1^2
よってこの命題は真
これも真偽の判定が可能
量化子を使って表す
$ \forall xP(x)
$ \exist xP(x)
$ \forall xP(x),\exist xP(x)では、変数$ xは$ P(x)のときのように自由に値を代入できる性質は失われている
述語や命題の内容を表すためだけに使われていて，自由に値を代入することができない変数を，束縛変数といいます．(p.34) $ \sum_{i=0}^{i<10}i=0+1+2+3+4+5+6+7+8+9
$ =\sum_{j=0}^{j<10}=\sum_{k=0}^{k<10}=\sum_{l=0}^{l<10}
$ \sum_{i=0}^{10}iという書き方が一般的な気がするyosider.icon
$ \int_{x=0}^{x=1} x^2\mathrm{d}x=\frac13
$ =\int_{y=0}^{y=1} y^2\mathrm{d}y=\int_{z=0}^{z=1} z^2\mathrm{d}z=\int_{a=0}^{a=1} a^2\mathrm{d}a
code:rb
# iをjやnumやkにしても同じ
for i in 1..3 do
print(i.to_s)
end
身近とは？？？cFQ2f7LRuLYP.icon
実際の数学や情報科学だと、(束縛変数$ xが$ Uの場合)変域$ Uを含んで書きあらわすのが一般的とのこと。
$ \forall x\in U(P(x)),\exist x\in U(P(x))
全称命題は$ \forall xP(x)、すなわち「$ Uのすべての要素$ xは条件$ P(x)をみたす」
つまり「述語$ P(x)の真理集合は$ Uである」
存在命題は$ \exist xP(x)、「$ Uのなかのある要素$ xは条件$ P(x)をみたす」
真理集合を使って表すなら、「述語$ P(x)の真理集合は空集合ではない」ということ $ \forall xP(x)「$ Uのすべての要素$ xは条件$ P(x)をみたす」を否定する
プリキュア理論を学んだのでイメージが掴めたcFQ2f7LRuLYP.icon
今後も全部プリキュアで説明しましょう(無茶振り)/villagepump/nishio.icon
$ \lnot\forall xP(x)「$ Uのある要素$ xは条件$ P(x)をみたさない」
これは$ \exist x\lnot P(x)と同値
$ \lnot(\forall xP(x))\iff \exist x\lnot P(x)
$ \exist xP(x)「$ Uのある要素$ xは条件$ P(x)をみたす」を否定する
今度は別のやつ使ってみようか
$ Uを八代集の撰者
$ P(x)を「撰者は複数人」とする
このとき、真理集合は$ \{古今集, 後撰集, 新古今集\}になる
なのでこの命題は真だ
で、この命題を否定したい
ウケる/villagepump/nishio.icon
無理はしないでねw
変域$ {\rm Pre}とさせて頂くッ
$ \exist xP(x)「$ {\rm Pre}のある要素$ xは条件$ P(x)をみたす」
そうだなあ、どういう条件か
…
数学をやっていたはずなのに、なぜ私はプリキュアについて調べだしているのか
プリキュアに対する解像度の低さがモロに出ている
てっきりプリキュアに詳しいのかと思った/villagepump/nishio.icon
あまり詳しくないですcFQ2f7LRuLYP.icon
プリキュアの皆さんの人となりや好きなものについてよく知らない
知り合いになるいい機会なのかも
平成ライダーならもう少し細かく設定できそう
「$ Preのある戦士$ xは条件$ 追加キュアであるをみたす」は真だな
追加キュアが一人でもいればtrueだからね/villagepump/takker.icon
「否定」ってのがよくわかってなさそうcFQ2f7LRuLYP.icon 自分は何で混乱してるのか？
$ \forall xP(x)「$ Uのすべての要素$ xは条件$ P(x)をみたす」の否定が「$ Uのすべての要素$ xは条件$ P(x)をみたさない」にならないのは何故か、よくわかってない この場合の真理集合は何かって考えてみる
というか具体例か
「$ {\rm Pre}のすべての戦士$ xが条件$ P(x)を満たさない」
これはそうだな…条件$ P(x)は「源氏物語に登場する」にしようか
プリキュアで源氏物語に登場している人はいないだろう
源氏物語の人でプリキュアに登場してる例はあるかもしれない。寡聞にして知らない。
よってこの命題はTrue
これ全称命題で表そうとすると…
$ \forall x\lnot P(x)
こうなる？
$ {\rm Pre}のすべての戦士$ xが条件「源氏物語に登場する」を満たしていない
なので真理集合はすべての戦士$ xを含む$ {\rm Pre}となる
……と思うcFQ2f7LRuLYP.icon
なかなか進まんなあ。今日はここまで
「否定の定義」で/villagepump/nishio.iconさんも言及してますが、本書の説明が悪いです……/villagepump/takker.icon $ \lnot Pを「Pでない」だと日本語で説明してしまったのが混乱のもと
修飾先に曖昧さが生まれてしまった
括弧で係り受けを明確にすると、「$ Uのすべての要素$ xは条件$ P(x)をみたす」の否定は以下の通り ✅「$ Uのすべての要素$ xは条件$ P(x)をみたす 」ではない
より自然に書くと「$ Uのすべての要素$ xが条件$ P(x)をみたすとは限らない」かな？
❌$ Uのすべての要素$ xは「条件$ P(x)をみたさない」
これを記号論理で書くと$ \forall x\lnot P(x)になる
皆々様ありがたや～cFQ2f7LRuLYP.icon
数カ月ぶりに開いたヨシ！