線形代数
2026-02-22
2025-11-28
核と像
Kernel(nullspace)
Image(the column space)
後者のほうがメジャー
2025-07-22
試験前にこれまで学んだことを構造化したい
あともっと具体に触れるべき
今のところ、結局正則行列の判定？を目指しているように見えるが、正則行列を求めると何が嬉しいのか
課題をすべて3回解く
レジュメをもう一度読む
出てくる定理
具体例
切り出せ！
明日pcから切り出し
def.
一次独立
一次従属
階段行列
Th.
一次独立なベクトルの一次結合による表記は一意
Pf.
$ \R^nの部分空間であるr個のベクトルの一次結合の生成する空間に属するr + 1個$ \textcolor{red}{以上}のベクトルは一次従属j
Pf.
系 n < s ならばs個のベクトルは一次従属
pf.
ゴミがついてるということ
def.
$ \R^nの部分空間
基底
次元
Th.
基底の存在
VはR^nの部分空間
$ V\neq\varnothingが\R^n の部分空間\impliesVの基底が存在する
そもそも$ \R^nの部分空間なら少なくとも一つの元を持つ
基底の補充
次元
系
$ V\sube W:\R^nの部分空間\implies\dim V\le \dim W
補題
一次独立となるベクトルの最大個数が次元
n次正則行列を左からかけても独立性(従属性）を保つ
Th.
$ A=(\bm{a}_1…\bm{a}_n)
$ \dim\lang\bm{a}_1…\bm{a}_n\rang=\mathrm{rank}\,A
def.
線型写像
和とスカラー倍を保つ
定理
表現行列
R^n上の列ベクトルの左から表現行列をかけたものになる写像は線形写像
合成
逆写像
def.
核(Kernel)
像(Image)
Th.3つ
$ f:\R^n\rightarrow\R^m線型写像
$ A=(\bm{a}_1,…,\bm{a}_n):fの表現行列ならば
$ \mathrm{Ker}\, f=\set{\bm{x}\in\R^n|A\bm{x}=\bm{0}}
$ \dim(\mathrm{Ker}\, f)=n-\mathrm{rank}A
？？
$ \mathrm{Im}\,f=\lang\bm{a}_1…\bm{a}_n\rang
$ \dim(\mathrm{Im}\,f)=\mathrm{rank}A
$ \dim(\mathrm{Ker}\,f)+\dim(\mathrm{Im}\,f)=n
次元定理