数ベクトル空間
数ベクトル空間
和とスカラー倍が定義された集合
$ \R^n:=\set{\begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}|x_i\in\R}\overset{\bf{def}}{\iff}n次元数ベクトル空間
どゆこと
和:$ \def\m#1{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}}\bm{a}=\m{a_1\\\vdots\\a_n},\bm{b}=\m{b_1\\\vdots\\b_n}\in\R\textcolor{red}{^n}
$ \implies\bm{a}+\bm{b}:=\{a_i+b_i\}\in\R^n
こういう書き方がアリかは置いといてとりまこれで
スカラー倍:$ k\in\R,\def\m#1{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}}\bm{a}=\m{a_1\\\vdots\\a_n}\in\R^n
$ \implies k\bm{a}:=\begin{pmatrix}ka_1\\\vdots\\ka_n\end{pmatrix}\in\R^n
$ V\sube\R^n\overset{\bf{def}}{\iff}Vは\R^nの部分空間
$ \overset{\bf{def}}{\iff}\begin{cases}V\neq\varnothing\\\bm{a},\bm{b}\in V\implies \bm{a}+\bm{b}\in V\\k\in\R,\bm{a}\in V\implies k\bm{a}\in V\end{cases}
$ Vは和とスカラー倍で閉じている
$ V:部分空間\implies\bm{0}\in V
対偶: $ \bm{0}\notin V\implies Vは部分空間ではない
ex. $ V = \set{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\in\R\textcolor{red}{^3}|xy\geq 0}は$ \R^3の部分空間ではない
$ \def\m#1{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}}\m{2\\2\\0},\m{-3\\-1\\0}\in Vではあるが
$ \because 2\cdot2=4\ge 0,(-3)\cdot(-1)= 3\ge 0
$ \def\m#1{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}}\m{2\\2\\0}+\m{-3\\-1\\0}=\m{-1\\1\\0}\notin V
$ \because (-1)\cdot 1=-1<0
ex. $ A:\R成分の$ m\times n行列において、$ V =\set{\bm{x}\in\R^n|A\bm{x}=\bm{0}}は$ \R^nの部分空間
$ VはA\bm{x}=\bm{0}の解空間
?
xは任意か。しかも条件をみたす列ベクトルなら何でもよいということね。
Aは2*3とか1*1かも
$ \R成分とはx成分やy成分みたいなもの？
1. $ A\bm{0}=\bm{0}\implies \bm{0}\in V\implies V\ne\varnothing
2. $ \def\b#1{\bm{#1}}\b{x},\b{x'}\in V\implies A\b{x}=\b{0},A\b{x'}=\b{0}\implies A(\b{x}+\b{x'})=A\b{x}+A\b{x'}=\b{0}\in V
3. $ k\in\R,\bm{x}\in V\implies k(A\bm{x})=\bm{0}\implies A(k\bm{x})=\bm{0}\implies k\bm{x}\in V
ex. $ \bm{a_1},\dots,\bm{a_r}\in\R^nに対して、
$ \lang\bm{a}_1,\dots,\bm{a}_r\rang:=\set{k_1\bm{a}_1+\dots+k_r\bm{a}_r|\in\R}は$ \R^nの部分空間
記号の定義がまだ
$ \bm{a}\in\lang \bm{a}_1,\dots,\bm{a}_r\rang\iff\exist k_i\in\R(1\le i\le r),\bm{a}=k\bm{a}_1+\dots+k\bm{a}_r
一次結合
$ \R^nの有限個のベクトル$ \bm{a}_1,\bm{a}_2,\dots,\bm{a}_rとスカラー$ k_1,k_2,\dots,k_rに対して
$ k_1\bm{a}_1+k_2\bm{a}_2+\dots+k_r\bm{a}_rの形に表されるベクトルを$ \bm{a}_1,\bm{a}_2,\dots,\bm{a}_rの一次結合という
$ \lang\bm{a}_1,\dots,\bm{a}_r\rang:=\bm{a}_1,\bm{a}_2,\dots,\bm{a}_rの一次結合全体の集合
$ \iff \bm{a}_1,\bm{a}_2,\dots,\bm{a}_rの生成する部分空間
'span' in English
✅教科書の具体例を頼りにとりあえず課題を1度解く
手描きでやっとこさ解いたんであとで清書
p.74~75
q.5.1
(2)$ V= \set{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\in\R^3|x,y,z\in\Z}は3次元数ベクトル空間$ \R^3の部分空間かどうか
$ \bm{x}\in V,0\in\Rで$ 0\bm{x}=\bm{0}\in\ V\ne\varnothing
$ \bm{x}_1=\begin{pmatrix}x_1\\y_1\\z_1\end{pmatrix},\bm{x}_2=\begin{pmatrix}x_2\\y_2\\z_2\\\end{pmatrix}\in V\implies x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2\in\Z\implies\bm{x}_1+\bm{x}_2\in V
$ \exist k\in \R, \exist\bm{x}=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\in V:kx,ky,kz\notin \Z
e.g.$ k=\frac{1}{2},\bm{x}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\implies k\bm{x}=\begin{pmatrix}\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}\end{pmatrix}\notin V
よって$ Vは$ \R^3の部分空間ではない
これ列ベクトルを転置行列で書いたほうが速いわhoshihara.icon q.5.2
(2)$ V=\set{\bm{x}\in\R^n|A\bm{x}=\lang a\rang}
$ \bm{x},\bm{y}\in V\implies A\bm{x}=\alpha a,A\bm{y}=\beta a,A\bm{x}+A\bm{y}=(\alpha+\beta)a
$ \implies A(\bm{x}+\bm{y})=(\alpha+\beta)a\in V
$ k\in\R,\bm{x}\in V\implies k(A\bm{x})=k\alpha a\implies A(k\bm{x})=k\alpha a\in V
よって$ Vは$ \R^3の部分空間
q.5.3
(2)$ \bm{a}=^t(1,1,1),\bm{a}_1=^t(1,2,-1),\bm{a}_2=^t(2,3,-1),\bm{a}_3=^t(3,4,-1)
面倒計算はさすがに手書きしよう
https://gyazo.com/0432fa6933287e612420b5346f3716d6
これ間違えてる