命題
集合
$ A\cup B := \set{x|x\in A \lor x\in B}
$ A\cap B := \set{x|x\in A \land x\in B}
命題
真偽が一意に定まる文
条件
xが含まれ、xの値によって真偽が変わる文
命題は条件pとqを用いて「pならばq:$ p\rightarrow q」と表されることが多い。
$ p\leftrightarrow q\overset{\rm{def}}{\iff}(p\rightarrow q) \land (q\rightarrow p)
命題「(pならばq)かつ(qならばp)」
pとqのフォントがまぎらわしい
$ 命題p\rightarrow qが真\iff P\subset Q
条件$ pと$ qに対して、各条件をみたす要素全体の集合PとQを考えると、命題$ p\rightarrow qが真ならば$ P\subset Qが成り立つ。
逆に、$ P\subset Qが成り立つならば、$ pをみたすものは必ず$ qをみたすから、命題$ p\rightarrow qは真である。
$ 命題p\leftrightarrow qが真 \iff P= Q
反例
偽である命題において、pをみたすがqをみたさないもの
$ P\cap \bar{Q}の要素
かつ(and)、または(or)の否定
言語としては直感的でない操作を行う。
$ \neg(p\land q)\iff \neg p\lor\neg{q}
「pかつq」の否定は、「pでないまたはqでない」
$ \neg{(p\lor q)}\iff \neg{p}\land\neg{q}
「pまたはq」の否定は、「pでないかつqでない」
対偶
命題とその対偶の真偽は一致する。
$ \because P\subset Q\iff \overline{Q}\subset\overline{P}
図を描けばわかる。
ばーがついてるやつは補集合という。$ P^cとも表す。
$ P^c :=U（全体集合）-P
「ある」と「すべての」の否定
メモ
$ \forall x,p(x)\rightarrow q(x)のことを$ p\implies qと書くようなので、ただの条件は右矢印に統一した
含意とは$ (p\implies q)\overset{\rm{def}}{\iff} \forall x,p(x)\rightarrow q(x)という関係のみを指すのかな
このとき$ p\implies q恒真命題という。