2026-03-18
10時頃起床
期待値や分散の計算
kを自然数、$ |x|<1として、
$ S=\sum_{k=1}^\infin n^kx^n
の形の無限級数和を計算する必要があるときがある
和$ Sの計算
$ \frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^\infin x^n
両辺をxで微分して、
xをかけると、
分からんのであとで
$ \textcolor{lightblue}{\frac{-(1-x)'}{(1-x)^2}=\sum_{n={1}}^\infin n x^n\quad\text{計算}}
$ \frac{x}{(1-x)^2}=\sum_{n=\textcolor{red}{1}}^\infin n x^n
両辺をもう一度xで微分して、
xをかけると、
$ \frac{x^2+x}{(1-x)^3}=\sum_{n=\textcolor{red}{1}}^\infin n^2 x^nが得られる。
特に右辺は$ |x|<1のとき収束する。
同様にk回繰り返せば、$ S=\sum_{k=1}^\infin n^kx^nを求めることができる。
これらの結果は期待値や分散の計算か何かに用いられる
xから右辺を求めるために左辺の式に代入するということかな？
幾何分布の期待値と分散
パラメータpの幾何分布に従う確率変数X
$ X\sim\mathrm{Geo}(p)
期待値$ E(X)を求める
$ k=1, 2, \dotsに対し、$ P(X=k)=(1-p)^{k-1}pであるから、
$ E(X)=\sum_{k=1}^\infin kP(X=k)=\sum_{k=1}^\infin k(1-p)^{k-1}p
$ \frac{1-p}{p^2}=\sum_{k=1}^\infin k(1-p)^k
この両辺にp/(1-p)をかければ、$ E(X)=1/pがわかる
すご
分散を求めるために$ E(X^2)を求める
$ \frac{x^2+x}{(1-x)^3}=\sum_{n={1}}^\infin n^2 x^nにおいて
$ x=1-pとし、nをkに置き換えると、
$ \frac{(1-p)^2+(1-p)}{p^3}=\sum_{k={1}}^\infin k^2 (1-p)^k
両辺に$ \frac{p}{1-p}をかけて
$ \frac{2-p}{p^2}=\sum_{k={1}}^\infin k^2 (1-p)^{k-1}p
$ \therefore E(X^2)=\frac{2-p}{p^2}
$ V(X)=E(X^2)-\{E(X)\}^2
$ = \frac{2-p}{p^2}-\frac{1}{p^2}
$ = \frac{1-p}{p^2}.
『確率統計入門:モデル化からその解析へ』.iconp51
1回100円でメダルが1枚出るゲームを考える。
メダルは100種類あり、
全て等確率で各回独立に出る。
このメダルを50種類、
80種類、
100種類集めるまでに必要な金額の期待値をそれぞれ求めよ。
hoshihara.icon
50種類
新しい種類のメダルが得られる確率
0種類獲得済み
確率1
1〃
確率99/100
2
98/100
49
51/100
確率変数Xは何？
X円でメダル50種類が集まる事象
間違い
Xはどう分布する？
考え方
今、k-1種類のメダルを持っているとして、
その時点から数えて新しい種類のメダルが出るまでのゲームの回数をX_kとする。
また、n種類のメダルを集めるのに必要な金額をY円とする。
このとき、
Y=100(Σ(k=1→n)X_k)
であるから、
E(Y)=E(100(Σ(k=1→n)X_k))=100(Σ(k=1→n)E(X_k)).
となる。
Yの確率分布を求めることは難しい
Yとはn種類のメダルを集めるのに必要な金額
難しいということがなんでわかるのかな？hoshihara.icon
しかし、Yの期待値E(Y)はE(X_k)から計算できる。
なぜ？
上の式変形から
k-1種類のメダルを持っているときに1回の試行で新しいメダルが出る確率は、
それまでに得られたメダルの種類や試行回数にかかわらず、
1-(k-1)/100である。
新しい種類のメダルが出るまでのゲームの回数をX_kは、
パラメータ1-(k-1)/100の幾何分布に従う。
このモデル化の段階でつまづくんだけど。
「k-1種類のメダルを持っているとして」
kが1, 2, 3,…,100となるようにしてる
kの各値に対してX_kがそれぞれ別の幾何分布に従うというややこしさ(n個ある)
各分布について1/pで(パラメータpもn個ある)期待値が求まるので、それの和をとって100倍するとYの期待値になる(コレはE(Y)の式変形からわかる)
よって
E(X_k)=1/{1-(k-1)/100}.
E(Y)=100(Σ(k=1→n)E(X_k))についてn=50, 80, 100など各値を代入して解ける。
記法がいいかげんなのでなんとかしたい
（句読点を打ったりピリオドカンマを使ったり何もつけなかったりetc）
うーん
https://gyazo.com/25f2648411ec61c32b0bc4c2bc2a0bbe
なんかおもろい
n年前