外測度
定義 : $ (X,\Gamma)
空間$ Xと$ \forall A \subset Xについて定義された$ \Gamma(A)が
1. 非負 $ 0 \leq \Gamma(A) \leq \infty,\ \ \Gamma(\phi)=0
2. 単調性 $ A \subset B \ \ \Longrightarrow \Gamma(A) \leq \Gamma(B)
3. 劣加法性 $ \Gamma\left(\bigcup_{n=1}^\infty A_n \right) \leq \sum_{n=1}^\infty \Gamma(A_n)
を満たす時、$ \Gamma:外測度と言う。
※ 有限加法的測度との違いは、劣加法性が加算無限でもokなのと互いに素な和のアレが一般に成立しない事。 ※ $ M_\Gammaの上では$ \Gammaはσ加法族 構成
$ \forall A \in Xと$ \mathfrak{F}上の有限加法的測度$ mに対して、 $ \Gamma(A) = \inf \sum_{n=1}^\infty m(E_n) ($ \infは$ Aの覆い方について)と定義すると、$ \Gammaは外測度となる。
※ $ \forall A \subset Xに対して、$ A \subset \bigcup_{n=1}^\infty E_n,\ \ \ E_n \in \mathfrak{F}なる覆い方($ E_nによる被覆)が少なくとも1つ存在する。
※ $ Aは一般の集合なので, $ A_n:互いに素でも, 3.の等号は成立しない場合がある.
ex. $ \Gamma(\phi)=0,\ \ \Gamma(A)=1\ \ \ (\forall A \subset X)