有限加法的測度
定義
空間$ Xと$ Xの部分集合の有限加法族$ \frak{F}について, $ \frak{F}-集合関数$ m(\cdot)が 1. 非負 $ 0 \leq m(A) \leq \infty\ \ \ (\forall A \in \frak{F}),\ \ \ m(\phi)=0
2. 素な和 $ A \cap B = \phi\ \ \ (A, B \in \frak{F})\ \ \Longrightarrow\ \ m(A+B)=m(A)+m(B)
を満たす時, $ m(\cdot)を$ \frak{F}上の有限加法的測度と言う.
※ $ A_1,A_2,... \in \frak{F},\ \ \ A_i \cap A_j = \phi\ \ (i \neq j)について,
$ A = \sum_{n=1}^\infty A_n \in \frak{F}\ \ \Longrightarrow\ m(A)= \sum_{n=1}^\infty m(A_n)が成立する時, $ mの事を(完全加法的)測度と言う. 性質
1. 有限加法性 : 互いに素な集合の有限和
$ A_i \in \frak{F},\ \ A_i \cap A_j = \phi\ \ \ (i \neq j)\ \ \ \Longrightarrow\ \ m\left(\sum_{i=1}^n A_i\right) = \sum_{i=1}^n m(A_i)
2. 単調性 : 集合の大小関係の維持
$ A,B \in \frak{F},\ \ A \subset B \ \ \Longrightarrow\ \ m(A) \leq m(B)
特に$ m(A) < \inftyなら$ m(B-A) = m(B) - m(A)
3. 有限劣加法性 :
$ A_i \in \frak{F}\ \ \Longrightarrow\ \ m\left( \bigcup_{i=1}^{n} A_i \right) \leq \sum_{i=1}^n m\left( A_i \right)