可測函数 - Emile's note

可測函数

可測関数

可測空間(σ加法族)$ (X,\mathfrak{B})及び集合$ E \in \mathfrak{B}について、$ Eで定義された函数$ fが、

$ E(f>a) \in \mathfrak{B}\ \ \ \ (\forall a \in \mathbb{R})を満たす時、$ f(x)を$ \mathfrak{B}-可測函数 / 可測($ \mathfrak{B})なる函数と言う。

---> $ f(x)の軸で切るイメージ

※ $ f:Eで$ \mathfrak{B}可測の事を$ f:可測と短縮して書く。

・$ f(x):複素数値函数の場合は、

$ f(x): 可測 $ \xLeftrightarrow{def} $ f(x) の実部と極部$ :\mathrm{Re}[f(x)],\ \ \mathrm{Im}[f(x)] が共に可測函数と定義する。

※ 単関数$ f(x) = \sum_{i=1}^n \alpha_i \chi_{E_i}(x),\ \ \ \ (\alpha_i \in \mathbb{R},\ \alpha_i \neq \alpha_j\ (i \neq j)),\ \ (E=\sum_{i=1}^{n}E_n)が$ \mathfrak{B}可測

$ \Longleftrightarrow $ E_j \in \mathfrak{B}\ \ \ (\forall j )

・性質

・非負値$ \mathfrak{B}可測函数で成立する事柄を一般の$ \mathfrak{B}可測函数に関する事に言い換えられる。

---> $ f^+(x) = \max \{f(x), 0\},\ \ f^-(x) = \max\{-f(x),0\}とすれば、

$ f(x) = f^+(x) - f^-(x)と出来て、$ fが$ \mathfrak{B}可測な事は$ f^+と$ f^-が$ \mathfrak{B}可測な事と同等になる。

・$ f:\mathfrak{B}可測で$ A \subset E,\ A \in \mathfrak{B}ならば$ fは$ Aの上でも$ \mathfrak{B}可測となる。

---> $ A(f > a) = E(f > a) \cap A \in \mathfrak{B}が成立するので。

・$ \forall r \in \mathbb{Q}に対して$ E(f>r) \in \mathfrak{B}が成立するのと同じ。

---> $ \forall a\in \mathbb{R}に対して$ aに近づく単調減少な有理数列$ \{r_n\}が取れて、

$ E(f>a) = \bigcup_{n=1}^\infty E(f > r_n) \in \mathfrak{B}が成立するから。

・$ fが$ \mathfrak{B}可測の言い換え。

---> $ fが$ \mathfrak{B}可測 $ \Longleftrightarrow「$ E(f>a) \in \mathfrak{B}\ \ (\forall a \in \mathbb{R})」 $ \Longleftrightarrow「$ E(f \leq a) \in \mathfrak{B}\ \ (\forall a \in \mathbb{R})」

$ \Longleftrightarrow「$ E(f \geq a)\in \mathfrak{B}\ \ \ (\forall a \in \mathbb{R})」$ \Longleftrightarrow「$ E(f < a)\in \mathfrak{B}\ \ \ (\forall a \in \mathbb{R})」

定理

・Th 10.1 : 可測関数に各点収束する、単調増加で可測な単関数列が取れる

$ fが$ Eで可測で$ \geq 0なら、$ Eで可測で$ \geq 0な単関数の単調増加列$ \{f_n\}で$ fに$ Eで各点収束する物が存在。

(証明)

$ f_n(x) = \left\{ \begin{array}{lll} \frac{k-1}{2^n} & (x \in E\left( \frac{k-1}{2^n} \leq f < \frac{k}{2^n} \right),\ k=1,2,...,2^n n) \\ n & (x \in E(f \geq n)) \end{array} \right.と取ると$ f_nは単調増加で、

$ f:可測より、$ E\left( f_n = \frac{k-1}{2^n}\right) \in \mathfrak{B}が成立し$ f_nも可測となる。

次に$ \lim_{n \rightarrow \infty}f_n(x)=f(x)を示す。

1. $ f(x) = \inftyとなる$ xについて、$ f_n(x) = nとなるので、$ \lim_{n \rightarrow \infty}f_n(x) = \inftyが成立。

2. $ f(x) < \inftyなる$ xについて、

$ n > f(x)なる全ての$ nに対して$ |f_n(x)-f(x)| \leq \frac{1}{2^n}が成立するので、

$ \lim_{n \rightarrow \infty}|f_n(x) - f(x)| = 0となる。

以上より各点収束する事が示された。

・Th 10.2 : 可測函数同士の大小の集合も可測集合

$ f,g:可測函数 $ \Longrightarrow $ E(f>g),\ \ E(f \geq g),\ \ E(f=g) \in \mathfrak{B}

・Th 10.3 : $ |f|^\alphaも可測

$ f:可測函数 $ \Longrightarrow $ \forall \alpha \in \mathbb{R},\ \alpha \neq 0に対して、$ |f(x)|^\alpha:可測

(ただし$ f(x)=0なる$ xに対して$ |f(x)|^\alpha = \infty\ \ \ (\alpha <0)と規約する)

※ $ \alpha = 0の時は$ f(x)=0なる点で意味をもたなくなり、$ E(f \neq 0)上では$ |f|^0 = 1なので、自明に成立する。

・Th 10.4 : 有限な可測函数の線形和も可測函数

$ f,\ g:有限値を取る可測函数 $ \Longrightarrow $ \forall \alpha,\ \beta \in \mathbb{R}に対して$ \alpha f + \beta g:可測

・Th 10.5 : 有限な可測函数の積も可測函数

$ f,\ g : 有限値を取る可測函数 $ \Longrightarrow $ fg:可測函数

・Th 10.6 : 可測函数列の極限も可測函数

$ f_n(x):可測 $ \Longrightarrow $ \sup_{n \geq 1} f_n(x),\ \ \ \inf_{n \geq 1} f_n(x),\ \ \ \overline{\lim_{n \rightarrow \infty}}f_n(x),\ \ \ \underline{\lim}_{n \rightarrow \infty} f_n(x)は全て可測函数で、

$ \lim_{n\rightarrow \infty} f_n(x)が存在すれば$ \lim_{n\rightarrow \infty}f_n(x):可測函数となる。

※ $ \overline{\lim_{n\rightarrow \infty}}f_n(x) = \inf_{n \geq 1} \sup_{k \geq n} f_k(x)

※ $ \lim_{n\rightarrow \infty}f_n(x)が存在(収束) $ \Longleftrightarrow $ \overline{\lim_{n\rightarrow \infty}}f_n(x) = \underline{\lim}_{n \rightarrow \infty} f_n(x) = \lim_{n \rightarrow \infty}f_n(x)

・Th 10.7 : 複素数値函数でもこれまでの定理が成立

$ f,\ g:E上の複素数値可測函数なら以下がそれぞれ成立。

1. $ E(f=g) \in \mathfrak{B}

2. $ \alpha f + \beta g,\ \ f\cdot g \in \mathfrak{B}\ \ \ \ (\alpha,\ \beta \in \mathbb{C})

3. $ \alpha \in \mathbb{R},\ \alpha \neq 0\ \ \Longrightarrow |f|^\alpha:可測

※ ここからは$ f:複素数値函数の場合の可測の定義に注意

※ $ \mathbb{C}:有限という意味を含む

(証明)

$ f,g:可測より、$ f,gの実部・虚部共に可測函数となる事に注意すると、

1.と2.は$ f,\ g, \ \alpha,\ \betaを実部と虚部に分けて書き直せば、Th 10.2、Th 10.4、Th 10.5に帰着。

3.は$ |f|^\alpha = \left(\sqrt{\mathrm{Re}[f]^2 + \mathrm{Im}[f]^2}\right)^\alpha より、Th 10.3、Th 10.4に帰着。

・Th 10.8 : 複素数値函数列でもこれまでの定理が成立。

$ f_n(x):E上の複素数値可測函数列で、各点$ xで有限な$ f(x) = \lim_{n \rightarrow \infty}f_n(x)が存在する$ \Longrightarrow f(x):可測

(証明)

実部と虚部に分けて議論すれば、Th 10.6と全く同じになる。

・Th 10.9 (Egoroffの定理) : $ f_nの各点収束 --> 一様収束

測度空間$ (X,\mathfrak{B},\mu)について、$ E \in \mathfrak{B},\ \ \mu(E) < \inftyとして、

可測函数列$ \{f_n\}は$ f_n(x) < \infty\ \ (\mu-a.e.\ x \in E)を満たし、

$ f_n(x) \xrightarrow[n\to\infty]{} f(x) < \infty\ \ \ (\mu-a.e.\ x \in E) が存在するとすると、

$ \forall \epsilon > 0に対して集合$ F \in \mathfrak{B}が存在して、以下の2つが成立する。

1. $ F \subset E,\ \ \ \mu(E - F) < \epsilon

2. $ \{f_n(x)\}は$ F上で$ f(x)に一様収束

・補助定理======================================================

$ E \in \mathfrak{B},\ \ \mu(E) < \inftyとして、$ f_n(x):有限値を取る可測函数であり、

$ Eの各点で有限な$ f(x) = \lim_{n\rightarrow \infty} f_n(x)が存在すると仮定する。

この時$ \forall \epsilon,\ \etaに対して、ある$ n \in \mathbb{N}と集合$ H\in \mathfrak{B}とが存在して、

1. $ H \subset E,\ \ \mu(H) < \eta

2. $ E - Hの上では、$ |f_k(x) - f(x)| < \epsilon\ \ \ \ (\forall k > n)

が成立する。

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・Th 10.9の系

Th 10.9で$ X=\mathbb{R}^N,\ \ \mathfrak{B}=\mathfrak{B}_N(or ルベーグ可測集合の全体$ \mathfrak{M})として、$ \muがLebesgue測度ならば、

$ Fとして閉集合をとる事ができる。

※ $ \mathfrak{B}_N:\mathbb{R}^Nの開集合全体を含む最小のσ加法族、$ \mathbb{R}^NにおけるBorel集合族

・Th 10.10 :

測度空間$ (X, \mathfrak{B}, \mu)を完備化した物を$ (X,\mathfrak{M},\mu)として、 (完備性)

空間$ Xは$ X = \sum_{n=1}^\infty X_n,\ \ X_n \in \mathfrak{B},\ \ \mu(X_n) < \inftyと表せるとする。

この時、集合$ E \in \mathfrak{B}の上で$ \mathfrak{M}可測な函数$ f(x)に対して、

$ E上の$ \mathfrak{B}可測函数$ g(x)で$ |g(x)| \leq |f(x)|,\ \ \ \mu(E(f \neq g)) = 0となる物が存在する。

・Th 10.10の系 : 大小を入れ替えてもTh 10.10は成立。

Th 10.10の仮定の下で$ E上の$ \mathfrak{M}可測関数$ f(x)に対して、$ E上の$ \mathfrak{B}可測関数$ h(x)で、

$ |f(x)| \leq |g(x)|,\ \ \ \ \mu(E(h\neq f))=0なる$ h(x)が存在。