環上の加群 - 雑多な感じ

環上の加群

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definition.icon 環$ R 上の左加群

$ M = \left\lang\mathrm{ LeftModule }\colon R, U;+, 0, -;\right\rang

$ R -左加群

環 $ R = \left\lang\mathrm{ Ring }\colon R.U; (+), 0, -, (×), 1 \right\rang

$ M=(M_0,S)

$ R -左加群

Abel群$ M_0 = (|M_0|,+,0,-)

もっといい記号の使い方？dragoon8192.icon

スカラー倍 Scalar multiplication

$ S\colon R × M_0 \to M_0

カリー化すれば$ S\colon R \to M_0^{M_0}

環の乗法

$ S(r)\circ S(s)= S(rs)

よって$ R が単位的環ならば$ S(1_{R})=\mathrm{id}_{M_0}

$ rx \coloneqq S(r,x) と略記できる

加法の分配律

$ S(r,x+y) = S(r,x) + S(r,y)

係数環の加法の分配律

$ S(r+s,x) = S(r,x) + S(s,x)

$ R -右加群

環の乗法についての性質が反変になったもの

$ S'(r)\circ S'(s)= S'(sr)

図式順との相性がいい

$ s.S' * r.S' = (sr).S'

この場合、$ xr\coloneqq x.(r.S')

右から作用するように略記する

$ R が可換環ならば

右加群と左加群は一致

単に$ R -加群