応用数学1（2021）

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定期試験

日時 2021/8/2 月 10:30--12:00

場所工学部 B-202

まとめの資料，毎回のプリント，昨年の定期試験の問題の解答例を WebClass 上に公開しています．復習しておいてください．

B-202

2年生：学籍番号のうち，最後の数字を捨てたあとの，下2桁の数字が 1から40（これを主要2桁とよぶ）

どこに座ればいい？学籍番号の主要2桁の数字が書かれた席．黄色の番号．

https://gyazo.com/e512973a588e10584868a07e88885daa

空席： 15

3年生：以下の通り．個別に座席を指定します

06 → 56

08 → 57

14 → 58

29 → 59

50 → 60

54 → 61

5年生：以下の通り．個別に座席を指定します

46 → 62

レポート課題よくある質問

課題その1 式(7)

$ x' + x = x^2e^t

これの解析解（手で解ける）は，$ x(t) = \dfrac{1}{C-t}e^{-t}

初期値を $ x(0)=1 で，走らせると

code:ode107.py

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

from scipy.integrate import odeint

def f(x, t):

return [ -x0 + x0*x0*np.exp(t) ] # この x0 の意味は，２変数以上の微分方程式を扱うとよくわかる

x0 = 1.0 # 1.0 は初期値 x(0)

t = np.arange(0, 10, 0.1) # 横軸tの作成．0から10を0.1 おきに．t は横ベクトル．

x = odeint(f, x0, t)

fig=plt.figure(0) # 以下は結果の表示

plt.plot(t, x, linewidth=2, color="red", linestyle="solid",label="$x'=-x +x**2e**t$")

plt.xlabel('time ($t$)', fontsize=14, color='black')

plt.ylabel('$x$', fontsize=14)

# plt.xlim(-1, 5) # 表示範囲を指定したい場合

# plt.ylim(-0.5, 1.2)

plt.grid()

plt.legend()

plt.show()

fig.savefig('fig_ode107.pdf')

https://gyazo.com/e97e62b8e9b6e1f38b8f859ea3f3d9fb

なんかおかしい．warning（警告）がでている．

考えよう！！！

（手で解ける）解析解は，$ x(t) = \dfrac{1}{C-t}e^{-t} ，$ Cは定数．

初期値が $ x(0)=1 の場合，定数 $ C を求めると

$ x(0) = \dfrac{1}{C}e^0 = 1 \Longrightarrow C=1 \Longrightarrow x(t) = \dfrac{1}{1-t}e^{-t}

ということは，$ t=0 から $ t の値が進んで，$ t=0.9999999 になると，分母が小さくなり，$ \dfrac{1}{1-t} は $ \infty になる．

これ以降計算できず．

初期値を変えて実験してみる．

$ x(-10) = 1 としてみる．

code:tmp

x0 = 1.0 # 1.0 は初期値 x(-10)

t = np.arange(-10, 10, 0.1) # 横軸tの作成．-10から10を0.1 おきに．t は横ベクトル．

https://gyazo.com/eb66011e87fedc59f5663a1cec3ce37d

初期値を $ x(-10)=1 の場合，定数 $ C は

$ x(0) = \dfrac{1}{C+10}e^{10} = 1 \Longrightarrow C+10=e^{10} \Longrightarrow C \approx e^{10} \Longrightarrow x(t) = \dfrac{1}{e^{10}-t}e^{-t}

この場合も，$ t=e^10 付近（分母がゼロ）になると $ \cdots

ここで紹介した値を使って満足するのでなく，いろいろ，自分で考えて試して，考察してください．

くどいですがが，解は，$ x(t) = \dfrac{1}{C-t}e^{-t} ，$ Cは定数．

2021.5.31 対面形式で実施！ (B-102, B-112)

https://scrapbox.io/projects/ad-lectures/invitations/60f6846ef37751ece6526d3b62b53c1a

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レポートを提出する際の注意点：

レポートについて

Overleaf for LaTeX

Python の使い方

これが動かないと始まらない

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Google Colab で以下を実行．ブラウザは Chrome，Firefox を推奨．

code:ode101.py

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

from scipy.integrate import odeint

def f(x, t):

return [ -3.0*x0 ] # この x0 の意味は，２変数以上の微分方程式を扱うとよくわかる

x0 = 1.0 # 1.0 は初期値 x(0)

t = np.arange(0, 10, 0.1) # 横軸tの作成．0から10を0.1 おきに．t は横ベクトル．

x = odeint(f, x0, t)

fig=plt.figure(0) # 以下は結果の表示

plt.plot(t, x, linewidth=2, color="red", linestyle="solid",label="$x'=-3x$")

plt.xlabel('time ($t$)', fontsize=14, color='black')

plt.ylabel('$x$', fontsize=14)

# plt.xlim(-1, 5) # 表示範囲を指定したい場合

# plt.ylim(-0.5, 1.2)

plt.grid()

plt.legend()

plt.show()

fig.savefig('fig_ode101.pdf')

https://gyazo.com/6087e255d7b1aacd0b08c65e4a0f3e9c

x0 = 1.0 # 1.0 は初期値 x(0)

https://gyazo.com/14d501e34684e1abc7d4d02dcbe8bf3f

np.arrage とは？例で説明。Copy & Paste ではなく、自分の手でキーボードから入力してみる。

code:tmp102.py

t = np.arange(1, 2, 0.1)

print(t)

https://gyazo.com/a5f615f6c4de4d9eb79dbb032d708eb3

code:tmp105.py

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

x = np.arange(-5, 5, 0.1) # 横軸の作成

y = np.sin(x)

plt.plot(y)

code:tmp106.py

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

x = np.arange(-5, 5, 1.0) # 横軸の作成

y = np.sin(x)

plt.plot(x,y)

plt.plot(x,y,'ro')

https://gyazo.com/fcc63910cd4ddc263813f1e3629e1063

https://gyazo.com/de8aed46ba2ecb5d41b5f658b3b8ef36https://gyazo.com/54208a7bdf68fbd3366760ff09ec5430

code:tmp107.py

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

x = np.arange(-5, 5, 0.1) # 横軸の作成

y = np.sin(x)

plt.plot(x,y)

plt.plot(x,y,'ro', markersize=2)

https://gyazo.com/c319fccb966c89acc27ab4fb1d0e2ca2

def は関数の定義

code:tmp107.py

def add(a, b):

x = a + b

return x

x = add(2, 5)

print(x)

# 7

odeint(f, x0, t)

code:000.py

def f(x, t):

return [ -3.0*x0 ] # この x0 の意味は，２変数以上の微分方程式を扱うとよくわかる

x0 = 1.0 # 1.0 は初期値 x(0)

t = np.arange(0, 10, 0.1) # 横軸tの作成．0から10を0.1 おきに．t は横ベクトル．

x = odeint(f, x0, t)

x には微分方程式を解いた結果が返ってくる

引数の f は，微分方程式の定義．この場合は $ \dfrac{dx}{dt} = -3x の右辺を f で定義している．

引数の x0 は．x の初期値．

t はｔそのもの．解きたい範囲のt をベクトルで与えている．

https://gyazo.com/06f91a47fb6ff688efb83f5f3240f551

よくある質問

課題その1 式(7)

$ x' + x = x^2e^t

これの解析解（手で解ける）は，$ x(t) = \dfrac{1}{C-t}e^{-t}

初期値を $ x(0)=1 で，走らせると

code:ode107.py

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

from scipy.integrate import odeint

def f(x, t):

return [ -x0 + x0*x0*np.exp(t) ] # この x0 の意味は，２変数以上の微分方程式を扱うとよくわかる

x0 = 1.0 # 1.0 は初期値 x(0)

t = np.arange(0, 10, 0.1) # 横軸tの作成．0から10を0.1 おきに．t は横ベクトル．

x = odeint(f, x0, t)

fig=plt.figure(0) # 以下は結果の表示

plt.plot(t, x, linewidth=2, color="red", linestyle="solid",label="$x'=-x +x**2e**t$")

plt.xlabel('time ($t$)', fontsize=14, color='black')

plt.ylabel('$x$', fontsize=14)

# plt.xlim(-1, 5) # 表示範囲を指定したい場合

# plt.ylim(-0.5, 1.2)

plt.grid()

plt.legend()

plt.show()

fig.savefig('fig_ode107.pdf')

https://gyazo.com/e97e62b8e9b6e1f38b8f859ea3f3d9fb

なんかおかしい．warning（警告）がでている．

考えよう！！！

解析解（手で解ける）は，$ x(t) = \dfrac{1}{C-t}e^{-t}

初期値を $ x(0)=1 の場合，定数 $ C は

$ x(0) = \dfrac{1}{C}e^0 = 1 \Longrightarrow C=1 \Longrightarrow x(t) = \dfrac{1}{1-t}e^{-t}

ということは，$ t=0 から $ t の値が進んで，$ t=0.9999999 になると，分母が小さくなり，$ \dfrac{1}{1-t} は $ \infty になる．

これ以降計算できず．

初期値を変えて実験してみる．

$ x(-10) = 1 としてみる．

code:tmp

x0 = 1.0 # 1.0 は初期値 x(-10)

t = np.arange(-10, 10, 0.1) # 横軸tの作成．-10から10を0.1 おきに．t は横ベクトル．

https://gyazo.com/eb66011e87fedc59f5663a1cec3ce37d

初期値を $ x(-10)=1 の場合，定数 $ C は

$ x(0) = \dfrac{1}{C+10}e^{10} = 1 \Longrightarrow C+10=e^{10} \Longrightarrow C \approx e^{10} \Longrightarrow x(t) = \dfrac{1}{e^{10}-t}e^{-t}

この場合も，$ t=e^10 付近（分母がゼロ）になると $ \cdots

code:ode109.py

def f(x, t):

return [ (-x0+1.0)/0.1, (-x1+1.0)/1.0, (-x2+1.0)/10.0 ]

x0 = 0.0, 0.0, 0.0 # 初期値 x0

t = np.arange(0, 20, 0.1)

x = odeint(f, x0, t).T

fig=plt.figure(0)

plt.plot(t, x0, linewidth=2, color="red",label='$\\tau=0.1$')

plt.plot(t, x1, linewidth=2, color="green",label="$\\tau=1.0$")

plt.plot(t, x2, linewidth=2, color="blue",label="$\\tau=10.0$")

plt.xlabel('time ($t$)', fontsize=14, color='black')

plt.ylabel('$x$', fontsize=14)

plt.grid()

plt.legend()

plt.show()

fig.savefig('fig_ode109.pdf')

https://gyazo.com/afc75e057e54b7e81535cdb72c0825e0

連立の微分方程式

https://gyazo.com/3a354ae22e2f61ec6bf001157460f2c7

code:ode999.py

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

from scipy.integrate import odeint

def f(x, t):

return [ x0 - 2.0*x1, x0 - x1 ]

x0 = 6.0, 1.0 # 初期値 x0

t = np.arange(0, 10, 0.1) # 横軸 t の作成

x = odeint(f, x0, t).T

fig=plt.figure(0)

plt.plot(t, x0, linewidth=2, color="red",label='$x(0)$')

plt.plot(t, x1, linewidth=2, color="green",label="$x(1)$")

plt.xlabel('time ($t$)', fontsize=14, color='black')

plt.ylabel('$x$', fontsize=14)

plt.grid()

plt.legend()

plt.show()

fig.savefig('fig_ode999a.pdf')

fig=plt.figure(1)

plt.plot(x0, x1, linewidth=2, color="red")

plt.xlabel('$x(0)$', fontsize=14, color='black')

plt.ylabel('$x(1)$', fontsize=14)

plt.axis('equal')

plt.grid()

plt.show()

fig.savefig('fig_ode999b.pdf')

https://gyazo.com/9dc2140416a8e4b60b0cc2f277975881

2021.5.17

速度定数 https://ja.wikipedia.org/wiki/速度定数

逆三角関数の重要な性質まとめ https://manabitimes.jp/math/787

逆関数の３つの定義と使い分け https://manabitimes.jp/math/784

逆三角関数 https://ja.wikipedia.org/wiki/逆三角関数

2021.5.10

2021.4.26

https://nbviewer.jupyter.org/gist/genkuroki/e317b4b2dd5c19e6b228b75f420aa699

2021.4.19

SARTRAS（サートラス）

Society for the Administration of Remuneration for Public Transmission for School Lessons

一般社団法人授業目的公衆送信補償金等管理協会

2021.4.12

（準備中）

https://gyazo.com/b69e71d9996d48799c30448a9a96a9e0