応用数学1（2019）
https://www.iwanami.co.jp//images/book/260884.jpg
2019/8/5（月）
定期試験、解答返却、解説。
https://gyazo.com/b3744dcb522b0b6ab9caaf604e6ae4ec
後期：応用数学2
教科書：図解メカトロニクス入門シリーズ 信号処理入門(改訂3版)
https://images-na.ssl-images-amazon.com/images/I/51EHWwM3T5L._SX350_BO1,204,203,200_.jpg
数学を勉強し直したい人向け：ライブ講義 大学1年生のための数学入門 (KS理工学専門書)
https://images-na.ssl-images-amazon.com/images/I/41ywgTj9E%2BL._SX353_BO1,204,203,200_.jpg
入門者のLinux 素朴な疑問を解消しながら学ぶ (ブルーバックス)
https://images-na.ssl-images-amazon.com/images/I/519t0y7FE5L._SX323_BO1,204,203,200_.jpg
講義では，時間が限られているので、少数の意味のある例題に選び，絞って解説しています
式の意味が重要
（とは言うものの）
式は正しいと思って先に進んでもよい
関連付ける
手を動かす．書く．計算する
イベント
2019.8.19（月）～22（木）
情報工学特別講義（再帰的なプログラミング）] （単位として認められるのは3年生以上）
日程：2019年8月19日（月）～連続4日間。（シラバス） 8/19（月）始まり。第一回目は10:30開始予定。A-116
第2日目からは、9:30はじまり。毎日 17:00までには終了する予定。
講師：山本和彦先生（IIJイノベーションインスティテュート） 概要：プログラミングで使うデータのいくつかは、構造が再帰的に定義されています。この再帰データを扱うためには、再帰的なプログラミングが必須となります。この講義では、再帰的なデータ構造と再帰的なプログラミングについて学びます。ループでは解けない(解きにくい)問題でも、再帰的なプログラミングでは簡単に解けることを説明します。再帰の習得を通じてプログラミング技術の向上を目指します。
Graham Hutton 著、山本和彦 訳 ISBN：978-4-908686-07-8 (2019年8月)
https://cdn.shopify.com/s/files/1/1634/7169/products/cover_530x.png?v=1564720482
2019.9.13（金）午後 県庁7号館
ICT利活用分科会 講演
佐藤理史先生（名古屋大学）
（人工知能と言葉に関連する内容）
https://gyazo.com/2c689b21faf15ef557795fc3b2e03cb1https://images-na.ssl-images-amazon.com/images/I/51nP%2BzzRy5L._SX394_BO1,204,203,200_.jpghttps://images-fe.ssl-images-amazon.com/images/I/51A69%2B4hFzL._SX260_.jpg
夏の読書
https://gyazo.com/1c579701606c67efa0584171b80407c9https://images-na.ssl-images-amazon.com/images/I/51FoSTiivwL._SX350_BO1,204,203,200_.jpg
2019.7.12（金） 14:50〜16:20 B-101
特別講演
長岡浩司先生
2019/729（月）
定期試験
2019/7/22（月）応用数学1
まとめ
授業評価アンケート
2019/7/17（水） 応用数学1
第6章 微分方程式と相空間：力学系の理論
https://gyazo.com/3500c9e1769b1d1f56233966763c8e37
https://gyazo.com/73f8e2b60cb9b9ea3f852429e5a207a6
2019/7/8（月） 応用数学1
第3章 2階の線形微分方程式 復習
https://gyazo.com/f705ac003c627cdbeaed5c84a06297a0
定数変化法の確認（で、講義中は計算間違いした）
$ \frac{d^2 x}{dt^2} + 6 \frac{dx}{dt} + 9 x = 0
特性方程式（重解）
$ \lambda^2 + 6 \lambda + 9 = 0
$ (\lambda + 3)^2 =0
$ x(t) = C e^{-3t} （$ C は定数）が解であることは、もとの式に代入すれば分かる。
$ x'(t) = -3C e^{-3t}
$ x''(t) = 9C e^{-3t}
より、$ 9C e^{-3t} + 6 (-3C e^{-3t}) + 9C e^{-3t} = 0
しかし、$ x(t) = C e^{-3t} のほかに解がない、とは言っていない（実際に、別の形の解がある）。
そこで、$ C = C(t) （ $ C は定数ではなくて $ t の関数）を考えて、微分方程式を満たす $ C(t) を求めればいい。
$ x(t) = C e^{-3t}
$ x'(t) = C' e^{-3t} -3C e^{-3t}
$ x''(t) = C'' e^{-3t} -3C' e^{-3t} -3(C' e^{-3t} -3C e^{-3t} ) = C'' e^{-3t} -6C' e^{-3t} + 9C
これをもとの式に代入すると
$ C'' e^{-3t} -6C' e^{-3t} + 9Ce^{-3t}+ 6 ( C' e^{-3t} -3C e^{-3t} ) + 9C e^{-3t} = 0
$ C'' = 0
$ C' = C_0
$ C = C_0t + C_1
$ x(t) = (C_0t + C_1) e^{-3t}
ここまで計算して、ようやく、これいがいの解はない、ということを示すことができた。
第5章 連立1階線形微分方程式
p.151 例題 5.4
5-3 2元連立方程式
脱線
https://www.oreilly.co.jp/books/images/picture_large978-4-87311-836-9.jpeg
2019/6/24（月） 応用数学1
時間が限られているので、少数の意味のある例題に絞って解説する
レポート受理状況
2階の線形微分方程式
$ \frac{d^2 x}{dt^2} + a \frac{dx}{dt} + b x = 0
scipy で数値計算するときは，1階の連立微分方程式に書き換える．
$ x_1 = x
$ x_2 = \frac{d x_1}{dt}
とおくと，もとの式
$ \frac{d^2 x}{dt^2} + a \frac{dx}{dt} + b x = 0
は
$ \frac{d x_2}{dt} + a x_2 + b x_1 = 0
と書けるので，これを整理すると．
$ \left\{ \begin{array}{lll} \frac{d x_1}{dt} & = & x_2 \\ \frac{d x_2}{dt} & = & -bx_1 -ax_2 \end{array} \right.
となる．行列とベクトル表記を使うと
$ \frac{d}{dt} \begin{pmatrix} x_1 \\\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\\ -b & - a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\\ x_2 \end{pmatrix}
と美しく書ける．この形を odeint に与える．
例1
$ \frac{d^2x}{dt^2} + 8 \frac{dx}{dt} +15 x = 0 ． 初期条件 $ x(0)=1, x'(0)=-1 を満たす解も求めよ
$ \frac{d}{dt} \begin{pmatrix} x_1 \\\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\\ -15 & - 8 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\\ x_2 \end{pmatrix}
code:ode801.py
# -*- coding: utf-8 -*-
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.integrate import odeint
def f(x, t):
return [ 1.0*x1, -15.0*x0 -8.0*x1 ] t = np.arange(0, 10, 0.1) # 横軸 t の作成
x = odeint(f, x0, t).T
fig=plt.figure(0)
plt.plot(t, x0, linewidth=2, color="red",label='$x(0)$') plt.plot(t, x1, linewidth=2, color="green",label="$x(1)$") plt.xlabel('time ($t$)', fontsize=14, color='black')
plt.ylabel('$x$', fontsize=14)
plt.grid()
plt.legend()
plt.show()
fig.savefig('fig_ode902a.pdf')
fig=plt.figure(1)
plt.plot(x0, x1, linewidth=2, color="red") plt.xlabel('$x(0)$', fontsize=14, color='black')
plt.ylabel('$x(1)$', fontsize=14)
plt.axis('equal')
plt.grid()
plt.show()
fig.savefig('fig_ode901b.pdf')
https://gyazo.com/4b9e1590530429ba3522ce214d21f18e
例2
$ \frac{d^2x}{dt^2} + 6 \frac{dx}{dt} +9 x = 0
$ \frac{d}{dt} \begin{pmatrix} x_1 \\\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\\ -9 & -6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\\ x_2 \end{pmatrix}
LaTeX
リチャード・ダグラス・フォスベリー（Richard Douglas Fosbury, 1947年3月6日 - ）
1968年メキシコシティーオリンピック金メダル（五輪新記録2m24）
1968年メキシコオリンピック男子走高跳において、従来の跳躍スタイルであった『ベリーロール』より新しい跳躍スタイルである『背面跳び』を最初に世界的大会で実施した選手。当時この跳躍法は『フォズベリー・フロップ』と呼ばれ、走高跳の革命とまで称された。五輪の前年には「フォズの魔法使い」というあだ名が付いていた。以降のこの跳躍スタイルが一般化し、走高跳の記録向上に貢献することになった。
$ y = 2^x をプロット．（横軸 $ -10 < x < 10）
https://gyazo.com/6b2ac349f3d106e80def31aaa45d6bb4
$ y = 2^x をプロット．（横軸 $ 900 < x < 1000）
この場合，$ 2^{990} \approx 0 のように見える．
$ 2^{1000} の値の大きさに比べれば，$ 2^{990} は無視できるくらい小さい値という意味．
$ 2^{990}/2^{1000} = 2^{-10}
https://gyazo.com/b140e4b2682054d82f8522afe9625070
2019/6/17（月） 応用数学1
問題集
↑ 解答・解説は，ここを参照
復習
『$ A \boldsymbol{x} = \boldsymbol{b} の一般解が，$ A \boldsymbol{x} = \boldsymbol{0} の一般解と，$ A \boldsymbol{x} = \boldsymbol{b} の特殊解の和で表現できる』のはなぜか．
$ A \boldsymbol{x} = \boldsymbol{b} の特殊解を一つ見つけたとする．これを $ \boldsymbol{x} _0 とする． つまり $ A \boldsymbol{x}_0 = \boldsymbol{b}
$ A \boldsymbol{x} = \boldsymbol{0} の一般解 を $ \boldsymbol{z} とする．
なぜ$ A \boldsymbol{x} = \boldsymbol{b} の一般解が$ \boldsymbol{z} + \boldsymbol{x} _0 と書けるのか？ これで解をすべて含んでいるなんてことが，どうして言えるのか？
この疑問を解決できればOK
$ \boldsymbol{x}_1 を$ A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b} の特殊解とする．つまり$ A \boldsymbol{x}_1 = \boldsymbol{b} ．これが$ \boldsymbol{z} + \boldsymbol{x} _0 に含まれていることを示せばよい．
$ A \boldsymbol{x}_0 = \boldsymbol{b}
$ A ( \boldsymbol{x}_1 - \boldsymbol{x}_0) = \boldsymbol{0}
これは，$ \boldsymbol{x}_1 - \boldsymbol{x}_0 が，$ A \boldsymbol{x} = \boldsymbol{0} の一般解 $ \boldsymbol{z} に含まれていることを意味している．
つまり $ \boldsymbol{x}_1 - \boldsymbol{x}_0 = \boldsymbol{z}
$ \boldsymbol{x}_1 = \boldsymbol{x}_0 + \boldsymbol{z} と書ける． どんな $ \boldsymbol{x}_1 を持ってきても，$ A \boldsymbol{x}_1 = \boldsymbol{b} であれば，こう書けるので，これが一般解．
レポート課題 補足
提出締切は 6月21日（金）午後5時
メールに pdf ファイルを添付して提出する場合は、件名（Subject）を「応用数学1レポート提出」でお願いします。
date@cs.miyazaki-u.ac.jp まで．
講義では Google Colab の Python を使い図を作成し、Overleaf を使い LaTeX でレポートを書く方法を紹介した。
2019/6/10（月） 応用数学1
課題1のプリントを持参
BYOD (Bring your own device) Google Colab で課題をこなし，LaTeX でレポートを書く．実演．
ブラウザは，Chrome か，Firefox を推奨（そうでないと Google Colab が動かない場合がある）．
https://gyazo.com/0019ea886a7ad964d47592032a61aa21
レポート
デフォルトでは日本語が文字化けする． ↓ このあたりを参考．
左上の Menu をクリック
https://gyazo.com/1c4552f7714afd967642d5ee59329f53
Compiler として，LaTeX を選ぶ．
https://gyazo.com/1d4ca8c7eb060a2ed775ce415f98c022
この（おまじない）ファイルを作って置いておく．
code:latexmkrc
$latex = 'platex';
$bibtex = 'pbibtex';
$dvipdf = 'dvipdfmx %O -o %D %S';
$makeindex = 'mendex -U %O -o %D %S';
$pdf_mode = 3;
2019/5/27（月） 応用数学1
次回 6/10月．ノートパソコン持参．
9:00〜 A-116
https://gyazo.com/7b59887246dc580990ac296c4782e6be
10:30〜 B-111
https://gyazo.com/ec06c4014241ed3783dfa5d97dba9521
https://gyazo.com/99f79335976d276bc5617d07d2edb8a5
2019/5/20（月） 応用数学1
休講 6/3（月）
補講日 5/27（月）9:00～ A-116 （案）
変数分離型．復習．
https://gyazo.com/3da0ac130ae3918b6253e246dce3c701
同時型
https://gyazo.com/477c00fea830cc030d952abcb49b10f1
Gilbert Strang
http://math.mit.edu/~gs/dela/DELA-forwebsite.jpg
2019/5/13（月） 応用数学1
予告
休講 6/3（月）
補講日 未定
10:30-10:50
復習
10:50-
2-1 変数分離型方程式
https://gyazo.com/d4ed7202e57f64229d2374cfca88aa36
11:15-
プリント
https://gyazo.com/fb37126668fdc633b8bef4d30a45c424
2019/4/22（月） 応用数学1
自分のノートパソコンのブラウザで ↓ を開く （google アカウントが必要）
全員がリアルタイムにコメントを書き込める場：
第2回 4月22日(月) 9:00～ A-116
自然法則と微分方程式 その１
1-1 微積分の予備知識について
1-2 微分方程式の簡単な例
各自のノートパソコンを持参。講義教室（A-116）に注意。
9:00-9:10 はじめに
ガリレイ（1564-1642）の等加速度運動
ニュートン（1643-1727）
ライプニッツ（1646-1716）
微分方程式の解をどう求めるのか
初等解法
18世紀
試行錯誤と計算力
目的：微分方程式に早く慣れる
9:10-9:20 1-1 予備知識
（G) だけ、きちんと説明。
9:30-10:00 1-2 簡単な例
微分方程式の立て方と用い方
例1～例6
例
http://www.nissin-kk.co.jp/pick_up/img/bi_02.png
http://radiation.shotada.com/assets/images/chapter/10/img122_131i.png
logisticsとは
物流（管理）、ロジスティクス◆商品の原材料調達・生産・販売までの過程で発生する物流を管理・合理化すること。
・We need to redesign the logistics system. : 私たちは物流システムを設計し直す必要があります。
〔複雑な〕事業の計画［実行］
《軍事》兵站（業務［学］）、後方支援
〔ビジネス用の〕諸設備、器材◆会議で使用するプロジェクターやスクリーンなど。
http://www.mech.cst.nihon-u.ac.jp/studies/okano/studies/phys/Fig6.9.gif
減衰振動
https://nippon.zaidan.info/seikabutsu/2001/00111/images/z0336_02b.jpg
問題：
世の中で、
現象を支配している法則のなかに、考えている量の変化率が現れる
一つ、
微分方程式を作れ。
人が考えないようなことを考えよう。
10:00-10:10 1-3 微分方程式の解
微分方程式で記述
変化している事象
現象を支配している法則のなかに、考えている量の変化率が現れる
微分方程式の解
微分方程式を満足する関数のこと
微分方程式と解の関係
これを一つ一つ追うのは、講義中にはしない。
$ \mu=1 など、簡単な例を考えることで、その解の形を知ることができる。
第3回 4月22日(月) 10:30～ 5月7日(火)は休講。
自然法則と微分方程式 その2
1-3 微分方程式の解
10:30～11:00
1-4 微分方程式の用語
ここは読んでおく
solve, integrate
独立変数 $ x、従属変数 $ y=y(x)
独立変数 $ t、従属変数 $ x=x(t)
一般解、特解
初期値問題
1-5 微分方程式論
初期値の近傍での解の性質と振る舞い
局所理論
解の定性的な挙動をつかむ
大域理論、力学系
9:00-
10:30-
Google Colab
2019/4/15（月） 応用数学1
伊達 章 （だて あきら） A-333
学び方（解ける，よりは，わかるのが大事）
高校数学＋線形代数がわかっていないと単位の修得は難しい．
微分方程式とは
$ \frac{dx}{dt} = -x
これ ↑ は，$ \frac{d}{dt}x(t) = -x(t) の略
微分を含んだ方程式．目的は，この式を満たす関数 $ x(t) を求めること．
$ x(t) = e^{-t} は，方程式を満たすので解（の一つ）．
$ \frac{d}{dt}x(t) = \frac{d}{dt} e^{-t} = -e^{-t} = - x(t)
例
$ \frac{dx}{dt} = x + y - x(x^2+y^2)
$ \frac{dy}{dt} = -x + y - y(x^2+y^2)
初期値： $ x(0)=x_0=1, y(0)=y_0=4
教科書 第1章は，何度も読み返す．
数値計算
code:ode010.py
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.integrate import ode
def f(t, x):
solver = ode(f)
solver.set_integrator(name="dop853")
solver.set_initial_value(x0)
dt = 0.01;
t = 0.0
ts = []
xs = []
while solver.t < 10.0:
solver.integrate(solver.t+dt)
plt.figure(0)
plt.plot(ts, xs)
plt.show()
数式処理
ギリシャ文字の読み方
$ \alpha アルファ
$ \mu ミュー p.4
$ \gamma ガンマ p.5
$ \beta ベータ p.5
$ \nu ニュー p.6
$ \omega オメガ p.6
$ \theta シータ p.17
$ \phi ファイ p.18
この教科書に載っていないもの
direction field
computer solution methods
see Acheson (1997)
そのほか
指数関数（ $ e^t など）が よくでてくる．
$ e^{\mu t} のことを $ \exp (\mu t) と書いたりもする．指数部分を小さくせずに記述できる．
簡単な関数の微積分 p.2
7. $ \int \frac{1}{x} dx = \log |x|
左辺の積分で，$ x \neq 0 ． $ x=0 をまたいで積分はできない．したがって，この式全体を考えるときには， a. $ x > 0 しか起こらないか，もしくは b. $ x < 0しか起こらない，2通りを別々に考える．「別々に考えるが」，式は，絶対値の記号を使うと，このひとつの式だけで簡潔に表現できるので，こう記述されている．
$ \int \frac{1}{x} dx = \log x , ~ x > 0
$ \int \frac{1}{x} dx = \log (-x) , ~ x < 0
$ \int \frac{1}{x-2} dx = \log |x-2| の場合は？ $ x \neq 2 で，$ x > 2 の場合と $ x < 2 の場合を同時に表現している．
個人的には，教科書からは，こんなのなくせばいい，と思っている．$ \int \frac{1}{x} dx = \log x , ~ x > 0 だけでよい．$ x> 0とか $ x > 2 の場合を考えればいいだけ．現実的には，そういう例ばかりなので．
そうもいかない？ → p.26 例題 2.4 を参照！
$ y' = 1 - y^2 を解け
初期値が $ y = 10 なら．値が小さくなっていく．どこまで小さくなるか．
初期値が $ y = -10 なら．値が大きくなっていく．どこまで大きくなるか．
初期値が $ y=1 なら，$ y'=0 なので，ずっと $ y=1．
初期値が $ y=-1 なら，$ y'=0 なので，ずっと $ y=-1．
◯◯◯◯ 学の不思議さに感動することは人生の幸せの一つに違いないが、その幸せは、 山道を一歩一歩登っていくように、数学的·概念的な理解を地道に積み重ねながら、 頭脳が汗をかき、心地よく疲労することでしか味わうことはできない。 （長岡浩司先生）