連続
素朴な定義
実関数$ f(x)がある実数$ aの$ f(a)で連続であるとは、以下の条件が満たされていること。
1.$ \lim_{x \to a+0}f(x) = \lim_{x \to a-0}f(x)が成り立つこと。(どちらから近づいても等しくなる。)
これにより、$ \lim_{x \to a}f(x)の存在が成立する。
2. $ f(a)が存在していること。
存在しない点ではないこと。
3. $ \lim_{x \to a}f(x) = f(a)が成り立つこと。
$ aが任意の実数であれば、全区間で連続と言える。
任意の正の数$ \epsilonに対し、ある適当な正の数$ \deltaが存在して、 $ |x − a| < \delta を満たす全ての実数$ xに対し、$ |f(x) − f(a)| < \epsilonが成り立つ。
実関数 $ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}が連続であるとは、
任意の$ x \in \mathbb{R}に対して、
$ \forall \epsilon \in \mathbb{R}_{>0}, \exist \delta \in \mathbb{R}_{>0}, \forall a \in \mathbb{R}
$ |x − a| < \delta \Rarr |f(x)-f(a)| < \epsilon
が成り立つこと。