イプシロン-デルタ論法
$ \epsilon- $ \delta論法
極限の式は以下のような物だが、このままでは漠然とした説明しかできない。
$ \lim_{x \to a}{f(x)} = b
($ xが$ aに近づく時、$ f(x)は$ bに近づく)
以下のような定義とすれば、曖昧さがなくなる。(無限を出さなくてもよくなる。) 任意の正の数$ \epsilonに対し、ある適当な正の数$ \deltaが存在して、 $ |x − a| < \delta を満たす全ての実数$ xに対し、$ |f(x) − b| < \epsilonが成り立つ。
$ \forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0, |x − a| < \delta \implies |f(x) − b| < \epsilon
この時$ \epsilonと$ \deltaは「無限小」という曖昧な値ではなく、有限の十分小さな値である。
また、ここから「どんな$ \epsilonを使ったとしても、条件を満たす$ \deltaが常に存在する」という命題にして、数学的に証明ができる。
イプシロンとデルタはどちらがどちらになるべき?
元々イプシロンは極めて小さな値とされている。一方、デルタは差分を示す。つまりイプシロンよりは大きいことを暗示している。(数値的な大小は関係なく、気持ち的な問題)
基本的にはイプシロン側が「小さくなって欲しい」側で、基本的には「ならば」の後側になるらしい。
距離空間であるとすると、さらに汎用的になる。
距離空間$ (X, d_X)と$ (Y, d_Y)とするとき
「写像$ f:X \longrightarrow Yが$ a \in Xで連続である」とは
$ \forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0, d_X(x, a) < \delta \implies d_Y(f(x), f(a)) < \epsilon
を満たすこと。
なぜイプシロン-デルタ論法が必要なのか?
無限大、無限小という値を曖昧な定義のまま使っていたために、おかしな結論が出ていた。
人間の直感的な無限大は単純に「無限に大きい数」で、複数の無限大に違いがなくなってしまう。
例えば$ f(x) = x^2と$ g(x) = x とで、$ x \to \infty とした時に、単純に$ f(x) = \infty, $ g(x) = \inftyとすると、正しい理解にならない。
人間の直感的な無限小は単純に「無限に小さい数」で、複数の無限小に違いがなくなってしまう。
例えば$ f(x) = \frac{1}{x^2}と$ g(x) = \frac{1}{x} とで、$ x \to \infty とした時に、単純に$ f(x) = 0, $ g(x) = 0とすると、正しい理解にならない。
連続関数は「連続している」というところから、直感的に「必ず微分可能」と思い込んでしまった。
間違った定理が証明されてしまった。
間違った定理の例
Ampereの定理
閉区間上の実数値連続関数は、いくつかの孤立点を除く各点で微分可能である
参考