写像
mapping
集合$ Aの要素$ xに対して、何らかの操作$ fを施した結果$ f(x)が集合$ Bの要素になるものとする。
この時、$ fは$ Aから$ Bへの写像となる。
$ f: A \rightarrow Bまたは$ A \xrightarrow{f} B と書く。
集合の書き方であれば、以下のように書く。
$ B = \{f(x) \mid x \in A\}
この時、$ Bは$ Aの像と呼ばれる。
$ Aの$ Bに対応する要素の集合(始域と呼ばれる)は$ Bの逆像、または原像と呼ばれる。($ A全体ではない点に注意)
逆関数は逆像、原像を求める関数と同義と考えてよい。 呼び方がいくつかある。
始域(domain)(始集合)(定義域(domain of definition))
写像の矢印の始端側の要素の集合
終域(余域 codomain)(終集合)(値域(range))
写像の矢印の終端側の要素の集合
変域
始域と終域をまとめて呼ぶ時の名称
「全射」「単射」は用語が悪く、混乱しがちになっている。
全射
元の集合の要素から像の集合の要素に対して、すべて対応関係がある場合に全射となる。
$ f: A \rightarrow Bの時
$ \forall y \in B, \exist x \in A, y = f(x)
像の集合の要素に、対応がついていないものがないのが要件。
単射である必要はない。(重要)
つまり、元の集合の要素2つが像の要素1つに対応していてもよい。
全単射と混同されやすい。
全射の見分け方
像の集合の要素から、必ず元の集合の要素がわかること。(複数あってもよい)
単射
元(もと)の集合の要素に対して像の集合の要素が1対1の対応関係にある物が単射になる。
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課題 説明をちゃんと書く
$ f: A \rightarrow Bの時
$ y_1 = f(x_1), y_2 = f(x_2)
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$ \lbrace a, b, c \rbraceと$ \lbrace w, x, y, z \rbraceがあったときに、$ a \rightarrow x, b \rightarrow y, c \rightarrow zという対応関係があれば単射となる。
$ a \rightarrow x, b \rightarrow xのように元の値の2つが1つに対応していたり
$ a \rightarrow \{x, y\}のように元の値の1つが2つに対応していたりする場合は、単射ではない。
元の集合のすべての要素に対応関係がなければならない。
像の集合の一部の要素は対応関係がなくてもよい。
全射である必要はない。(重要)
全単射
全射と単射の両方の性質を満たすのが全単射となる。
解が2つあるようなものはどうする?
解1つ1つが要素ではなく、解を集めた集合(=タプル)が要素だと考えればよい。
$ nの集合と$ x^n = 2の解の集合を考えることができる。
$ x^1 = 2の解は$ x = 2
$ x^2 = 2の解は$ x = {-\sqrt{2}, \sqrt{2} }