ベクトルの内積
ベクトル$ \vec{a}(a_1, a_2, \dots, a_n)とベクトル$ \vec{b}(b_1, b_2, \dots, b_n)がある時
内積を $ \vec{a} \cdot \vec{b} と書き、以下のように定義する。
$ \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta
$ |\vec{a}|は$ \vec{a}の長さ。
$ \thetaは、$ \vec{a}と$ \vec{b}の間の角度となる。(「$ \vec{a}と$ \vec{b}のなす角」と呼ばれる)
ベクトルの要素を使って計算する場合は、以下のような計算になる。
$ \vec{a} \cdot \vec{b} = \sum_{i=1}^k{a_i b_i}
ゼロベクトルの場合、角度を作ることができないが。ベクトルの長さが0になるため、内積は0でよい。
($ \cos \thetaは$ -1 \le \cos \theta \le 1なので、極限を考えると0にするのが妥当になる。)
$ \lim_{|\vec{a}| \to 0}{|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta} = 0
$ \vec{a} \cdot \vec{b} = \sum_{i=1}^n{a_i b_i}
内積が分かると何がうれしいのか?
2つのベクトルの間の角度(2つのベクトルがなす角)が分かる。
どちらかのベクトルに沿わせた場合のスカラー倍の値が得られる。
力のベクトルならば、力のベクトルがもう一つの方向ベクトルに対してどの程度有効なのかがわかる。(力の分解)
なぜ、内積はこんな式になるのか?
関連