余弦定理
第一余弦定理と第二余弦定理とがある。
通常、余弦定理と呼ぶものは第二余弦定理のこと。
第二余弦定理
三角形$ \triangle {ABC}がある時、各辺の関係は以下のようになる。
$ a = |\overrightarrow{AB}|, b = |\overrightarrow{BC}|, c = |\overrightarrow{CA}|, \theta = \angle{BCA}
$ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \theta
三辺はどう入れ替えても同じ。
ピタゴラスの定理は$ \thetaが$ \frac{\pi}{2}(つまり$ \cos \theta = 0)の時の式になっている。 第一余弦定理
三角形$ \triangle {ABC}がある時、各辺の関係は以下のようになる。
$ a = |\overrightarrow{AB}|, b = |\overrightarrow{BC}|, c = |\overrightarrow{CA}|, A = \angle{CAB}, B = \angle{ABC}, C = \angle{BCA}
$ a = b \cos C+ c \cos B
$ b = c \cos A + a \cos C
$ c = a \cos B + b \cos A
証明
点$ Aから垂線を下ろして点$ Hとすると
$ a = CH + BH = b \cos C + c \cos B
関連
参考