デデキント切断
Dedekind cut
有理数しか知らない時に、数直線の性質から無理数を定義する方法。
$ x \lt aと$ x \ge aで$ aを基準に2つに分割した時、$ x \ge aの方に$ aは含まれ最小の要素となるが、$ x \lt aの方には含まれず、最大の要素は$ aよりは小さいが差が無限に小さい値になる。 「有理数」のところを切断することで「有理数のすぐ隣」にある無理数を定義する。
できた「無理数」の所を切断することで「無理数のすぐ隣」にある無理数を定義する。
有理数と有理数との間に無限に無理数が存在する。
数を有理数と無理数の全順序集合と考えた場合、2つの集合に分ける時にどういう分け方があるかという考察。
有理数の集合の場合、ある有理数を決めて、その大小関係で集合を2つに分けると、分けた基準となる有利数が必ず片方の集合に含まれる。 無理数の集合の場合、ある無理数を決めて、その大小関係で集合を2つに分けると、両方の集合にその無理数が含まれない。