logの微分
$ e = \lim_{n \to \infty}(1 + \frac{1}{n})^n = \lim_{t \to 0}(1 + t)^{\frac{1}{t}}
$ f'(x) = \lim_{d \to 0}{f(x+d) - f(x) \over (x+d) - x}
$ (\log x)' = \lim_{d \to 0}{\log(x+d) - \log(x) \over (x+d) - x}
$ \log a - \log b = \log{\frac{a}{b}}なので
$ (\log x)' = \lim_{d \to 0}\frac{1}{d}{\log{\frac{x+d}{x}}}
$ = \lim_{d \to 0}\frac{1}{d}{\log \bigg(1 + \frac{d}{x}\bigg)}
ここで、$ t = \frac{d}{x}と置くと $ d = tx
$ = \lim_{t \to 0}\frac{1}{tx}{\log(1 + t)}
$ a \log b = \log b^a なので、$ \frac{1}{t} を$ \log に押し込め、$ \frac{1}{x} は$ t に依存しない値になったので
$ = \frac{1}{x}\lim_{t \to 0}{\log (1 + t)^{\frac{1}{t}}}
ここで、$ \lim_{t \to 0}{\log (1 + t)^{\frac{1}{t}}} = \lim_{t \to 0}{\log e} = 1 なので
$ = \frac{1}{x}