動画『1+1の証明』

前提知識

code:javascript

function ∈(a, b) {

// 命題の定義

}

と定義され

code:javascript

∈(1, 2);

と使用されているだけに過ぎない。

1+1を実装するのであれば

code:javascript

function add(a, b) {

return a + b;

}

add(1, 2);

上記のような実装になると言える。

そういった細かい部分に触れていく。

性質を提唱（後日Wiki）

interface

自然数は以下の性質を持つ集合である。

すべての自然数は「次の数」を持つ

異なる自然数は同じ 「次の数」を持たない

0はいかなる自然数の「次の数」でもない

ある集合が、０を含み、かつ「ある数を含むならば、その「次の数」も含む」性質を持っている時、その集合は自然数全体を含む

「ある集合が、０を含み」かつ「「次の数」も含む」

「その集合は自然数全体を含む」

0を含まない別の鎖を許容しない

1+1=2とはなにか

「1」とは

「０」の次の数である

「2」とは

「１」の次の数である

「+」とは

右側の数が「０」になるまで行い、右側の数が「０」になった時点で左側の数を結果として返す演算

TypeScript実装サンプル

code:typescript

// numberの概念定義

interface Number {

isZero: () => boolean;

next: () => Number;

prev: () => Number;

}

const add = (a, b) => {

if (b.isZero()) return a;

a = a.next();

b = b.prev();

add(a, b);

};

「=」とは

まだわからない・・・。

自己言及のパラドックス

地方公務員法、第四条のパラドックス

この法律は規定は、一般職に属するすべての地方公務員（以下「職員」という。）に適用する。

code:other

嘘つきのパラドックス・ベリーのパラドックス・ぐれリンクのパラドックス・ラッセルのパラドックスなどなど。

ラッセルのパラドックス

結論

R = { x | ￢ ( x ∈ x ) }

過程

「自分自身を含まない集合」全ての要素とする集合をRとおく。このとき、R自身はRに含まれるか？

「すべての集合の集合」

あらゆる「集合」を要素として含む集合

「すべての集合の集合」の要素には、「すべての集合の集合」自身が含まれている

R = { x | ￢ ( x ∈ x ) }

全ての集合のうち、「自分自身を含まない集合」をすべて集めた集合

RはRに含まれるか？

ゼロの定理

∋ x ∀ y ( ￢ ( y ∈ x ) )

任意の二つの集合を要素とする集合を作ってもよい

0 = {}

1以降の定義

1 = {0} = {{}}

つまり再帰的に

2 = {1} = {{0}} = {{{}}}

となる。

code:typescript

cosnt 0 = {}; // -> { }

const 1 = {0}; // -> {{}}

const 2 = {0, 1}; // -> {{}, {{}}}

const 3 = {0, 1, 2};

const 4 = {0, 1, 2, 3};

無限とは

無限にも大小がありそれを濃度と呼ぶ、大きいものを「濃い」という

※自然数は対応付けができてしまうため、自然数の無限においては、濃度は一定である。

対応サンプル

code:txt

A = { 0, 1, 2, 3, ....}

B = {... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 }