群の構造色々 - Summer498 の頭ん中

群の構造色々

準備

準同型 (homomorphic)

群$ Gの構造を保ちつつ群$ Hに移す写像$ fのこと

$ G\overset f\rightarrow H

$ g_1g_2\overset f\rightarrow h_1h_2

$ 1_G\overset f\rightarrow 1_H

$ g^{-1}\overset f\rightarrow h^{-1}

同型 (isomorphic)

群$ Gの構造を保ちつつ群$ Hに移す全単射$ fのこと

$ G\simeq H

$ G\overset f\leftrightarrow H

$ g_1g_2\overset f\leftrightarrow h_1h_2

$ 1_G\overset f\leftrightarrow 1_H

$ g^{-1}\overset f\leftrightarrow h^{-1}

群$ Gの部分集合$ Hが$ Gの演算に関して群構造を成すとき、$ Hを$ Gの部分群という。

$ G\supe H

任意の$ g,g_1,g_2\in Gについて

積の保存：$ g_1,g_2\in H\Rightarrow g_1g_2\in H

単位元の共有：$ 1_G=1_H

逆元の共有：$ g\in H\Rightarrow g^{-1}\in H

別の定義：$ Hから$ Gへの包含写像が準同型を与えるとき$ Gを$ Fの部分群という。

$ {\rm id}:H\to G

$ {\rm id}(h)=h\in G

この定義から

$ H\overset{\rm id}\to G

$ H\ni h_1\overset{\rm id}\rightarrow h_1\in G

$ H\ni h_2\overset{\rm id}\rightarrow h_2\in G

$ H\ni h_1h_2\overset{\rm id}\rightarrow h_1h_2\in G

$ H\ni 1\overset{\rm id}\rightarrow 1\in G

$ H\ni h\overset{\rm id}\rightarrow h^{-1}\in G

剰余類

部分群$ Hにより群$ Gを同値類に分割する。

$ aH=\{ah\ |\ h\in H\}\sube G

$ g_1\in